יום חמישי, 12 בדצמבר 2013

מספרים מרוכבים לבגרות הסבר דוגמאות נוסחאות הסברים כל מה שצריך לדעת במקום אחד תרגילים עם פתרנות

מספרים מרוכבים

√(-1)=i
√(-25)=√25*√(-1)=5i
√(-3)=i√3

X^2+x+1=0



Z=x+iy
i-מספר מדומה
N – מספרים טבעיים
Z – מספרים טבעיים (כולל את המספרי הטבעיים בפלוס ומינוס)
Q – רציונליים כל מספר שאפשר לכתוב אותו כשבר
I  - מספר אי רציונלי, אין סוף ספרות אחרי הנקודה, מספר שאי אפשר לכתוב אותו בשבר
R  - מספר ממשיים, כל המספרים הקיימים (מספרים קיימים שאפשר למודד איתם מרחק)
C  - מספרים מרוכבים

אפשר לרשום כל מספר כמספר מרוכב





אפשר לרשום כל מספר כמספר מרוכב




פעילויות חשבוניות עם מספרים מרוכבים
  1. חיבור / חיסור
z1=x1+iy1
z2=x2+iy2


z1+z2=x1+x2+i(y1+y2)


דוגמה
Z1=2+3i
Z2=5-2i
Z1+z2=7+1i


  1. כפל
Z1*z2=(x1+iy1)(x2+iy2)





  1. חילוק
    מרחיבים את השבר במספר הצמוד של המכנה. מספר צמוד הוא מספר מרוכב שהסימן האמצעי הוחלף



4. חזקות
i^2=-1
(2+i)^2=4+4i+i^2= 4+4i-1= 3+4i
  1. הוצאת שורש

    שלב ראשון – משווים את התוצאה למספר מרוכב כללי.
    שלב שני – מעלים את שני האגפים בריבוע (מסיימים את כל החישובים)
    שלב שלישי – משווים חלק ממשי לחלק ממשי וחלק מדומה לחלק מדומה.


דוגמה:










sin<θ=y/r
cos<θ=x/r

x=rsinθ
y=rcosθ

 |r|=√(x^2+y^2)
(r|=√(r^2cos2θ+r^2cos2θ|


ציר ה-y הוא sin
ציר ה c הוא cos










x=rcosθ
y=rsinθ


z=x+iy
z=rsinθ+ircosθ

z=rcisθ
(cisθ=cosθ+sinθ)


z1=r1cosθ1+r1isinθ1
z2=r2cosθ2+r2isinθ2

פעולת חיבור
z1+z2=r1cosθ1+r2cosθ2+i(r1sinθ1+r2sinθ2)


פעולת חיסור
z1+z2=r1cosθ1-r2cosθ2+i(r1sinθ1-r2sinθ2)


פעולת כפל
z1·z2=r1·r2+cis(θ1+θ2)


פעולת חילוק
z1/z2=r1/r2+cis(θ1-θ2)


פעולת חזקה
z1^x=r1^x+cis(xθ)



לפי הסימון של sin ושל cos בודקים באיזה רביע נמצאת הזווית טטה (θ).
1. אם הזווית נמצאת ברביע הראשון משאירים את הזווית טטה כמו שהיא.
2. אם הזווית נמצאת ברביע השני מחסרים מ-180 את הזווית טטה.
3.אם הזווית נמצאת ברביע השלישי מוסיפים 180 לזווית טטה.
4.אם הזווית נמצאת ברביע הרביעי מחסרים מ-360 את הזווית טטה.




העברה מההצגה האלגברית (קרטזית) להעברה טריגונומטרית (קוטבית)

מחשבים את ה-r לפי הנוסחה:
|r|=√(x^2+y^2)

אנחנו כתובים מהו הx ומהו ה y לפי ההצגה ההאלגברית ועושים 
tan טטה שווה y חלקי x
θ+180k
כאשר
0<=θ<=360
לוקחים את האפשרות שבתחום הזה לפי k
בודקים באיזה ריבוע נמצאת הנקודה
(x,y)
אם רביע ראשון
הזווית בין אפס לתשעים

אם רביע שני
הזווית בין תשעים למאה שמונים

אם רביע שלישי
הזויית בין מאה שמונים למאתיים שבעים

אם רביע רביעי
הזווית בים מאתיים שמונים לשלוש מאות שישים

ואז יודעים מה לשלול ומה להשאיר
רושמים את ההצגה הקוטבית / הטריגונומורית
z=rcisθ






אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה