יום חמישי, 14 בנובמבר 2013

תרגיל - הווקטור האלגברי סעיף זה כולל תרגילים מכל הסוגים עם וקטור אלגברי

פתרון תשובה דרך מלאה איך פותרים תשובה מלאה שרטוט הסבר הוראות תרגיל מדריך

במקבילון ABCDA'B'C'D'    A נתונים הקודקודים A(6,-2,5) B(3,1,-1) C(0,2,1)  C'(2,6,2)   X
הנקודה M מחלקת את המקצוע AB כך BM=2MA
א. הוכח שהמקבילון הוא תיבה
ב.מצא את אורכי הווקטורים MC ו
MA'    
ג. חשב את שטח המשולש A'MC





נמצא את ההצגה האלגברית של AB
AB(3-6,1-(-3),-1-5)
AB(-3,3,-6)
נמצא את ההצגה האלגברית של BC
BC(0-3,2-1,1-(-1))
BC(-3,1,2)

cos<a=AB·BC=(-3*(-3)+3*1+(-6)+2)=0
<a=90
לכן AB מאונך ל BC יש ביניהם זווית של תשעים מעלות

נמצא את ההצגה האלגברית של C'C
C'C(0-2,2-6,1-2)
C'C(-2,-4,-1)

cos<b=C'C·BC=(-2*-3+1*-4+2*-1)=0
<b=90
לכן C'C מאונך ל BC יש ביניהם זווית של תשעים מעלות

cos<c=C'C·AB=-2*-3-4*3-1*-6-0
<c=90
לכן C'C מאונך ל AB יש ביניהם זווית של תשעים מעלות

מכאן נובע שהמקבילון הוא תיבה.


סעיף ב'


חלוקה של קטע ביחס נתון
A(x1,y1,z1)
B(x2,y2,z2)
E-?
k/p

xE=(x1*p+x2*k)/(k+p)
yE=(y1*p+y2*k)/(k+p)
zE=(z1*p+z2*k)/(k+p)



כך נמצא את נקודה M, יש לנו את הקטע  AB שמחולקת על ידי M ליחס של שתיים לאחד, כאשר החלק הגדול יותר הוא BM
BM=2MA


A(6,-2,5) B(3,1,-1)

xM=(6*2+3+1)/2=5

yM=(-2*2++1*1)/3=-1

zM=(5*2-1*1)/3=3


M(5,-1,3)


נמצא את הקווקטור של MC ונעשה לו מרחק
C(0,2,1)
M(5,-1,3)

MC=(0-5,2-(-1),1-3)
MC=(-5,3,-2)

מרחק לפי נוסחת מרחק
|MC|=√(5^2+3^2+2^2)=√38

נחשב את
MA'
M(5,-1,3)

 אנחנו צריכים למצוא את
A'(x,y,z)

CC'=AA'

C'C(-2,-4,-1)
CC'=(2,4,1)
A(6,-2,5)
AA'=(x-6, y+2, z-5)

x-6=2
y+2=4
 z-5=1
A'=(8,2,6)
M(5,-1,3)

MA'=(3,3,3)

|MA|=√(3^2+3^2+3^2)=√27

ג. צריך לחשב את שטח המשולש A'MC
שטח המשולש הוא בסיס כפול גובה, ניקח את הבסיס MC שאותו חישבנו
|MC|=√(5^2+3^2+2^2)=√38

מה שנותר לנו עכשיו זה לחשב את הגובה לבסיס MC 
נוריד גובה מהנקודה 
A'
לישר MC

מרחק בין נקודה לישר
נקודה
A(x1,y1,z1)
ישר
x=(x2,y2,z2)+t(x3,y3,z3)

המרחק בין הנקודה לישר הוא אורך האנך שמורידים מהנקודה A אל הישר.

מחשבים את המרחק בין הנקודה הנתונה לנקודה כללית של הישר
נקודה נתונה
A(x1,y1,z1)
נקודה כללית של הישר
B(x2+tx3, y2+ty3, z2+tz3)

מחשבים את המרחק בין שתי הנקודות
|AB|=√((x2+tx3-x1)^2+(y2+ty3-y1)^2+(z2+tz3-z1)^2)

בונים פונקציה ומחפשים את נקודת המינימום, שהוא יהיה הערך של t, שאותו נציב בנוסחת המרחק (המרחק הקצר ביותר הוא האנך ואותו אנחנו מחפשים לכן אנחנו מחפשים את המרחק המינימלי)


נמצא את משוואת הישר של MC
C(0,2,1)
M(5,-1,3)


x=(0,2,1)+p(5,-1-2,3-1)
x=(0,2,1)+p(5,-3,2)=(5p,2-3p,1+2p)

מרחק בין הנקודה כללית של הישר MC והנקודה A'
(5p,2-3p,1+2p)
A'=(8,2,6)

h=√((5p-8)^2+(-3p)^2+(-5+2p)^2)
h=√(25p^2-80p+64+9p^2+25-20p+4p^2)
h=√(38p^2-100p+89)
y=√(38x^2-100x+89)
y'=76x-100
לא נעסוק במכנה כי הוא לא מעניין אותנו הוא חיובי
x=100/76


אכן מדובר בנקודת מינימום 

נציב 
p=100/76
h=√(38p^2-100p+89)
h=√23.21

(√23.21*√38)/2=14.84


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה