יום שישי, 8 בנובמבר 2013

תרגיל - פרבולה

דרך מוקד הפרבולה y^2=6x העבירו ישר שיותר זוית של 60 מעלות עם הכיוון החיובי של ציר ה-x. הישר חותך את הפרבולה בנקודה A ברביע הראשון ובנקודה B ברביע הרביעי. הנקודה C היא אמצע המיתר AB. דרך נקודה D שעל הפרבולה העבירו משיק לפרבולה שמקביל לישר AB.
א. מצא את שיעורי הנקודות A, B, C, D.
ב. הוכח שהמשולש DCF הוא שווה שוקיים.
כאשר F הוא מוקדש הפרבולה

פיתרון תשובה מלאה הסבר דרך מפורטת איך פותרים דרך פיתרון פתרון מלא

נסמן את נקודת המוקד שלנו באות F, כפי שרשמנו

"כאשר נתונה לנו הפרבולה עצמה
y^2=2px

נחלק בארבע את
2p
כדי לקבל את נקודת המוקד"

נתונה לנו המשוואה של הפרבולה y^2=6x נחלק בארבע בשביל למצוא את נקודת המוקד:
שש חלקי ארבע שווה אחד וחצי
לכן נקודת המוקד שלנו היא
F(1.5,0)


המדריך שלנו יהיה ישר שמשוואתו היא

x=-1.5



נשרטט שרטוט לפי נתוני השאלה ולפי מה שהסקנו מהם



אנחנו יכולים לדעת את השיפוע של AB ושל הישר שעליו נמצאת הנקודה D כי נתון לנו הדבר הבא
"דרך מוקד הפרבולה y^2=6x העבירו ישר שיותר זוית של 60 מעלות עם הכיוון החיובי של ציר ה-x. "

אנחנו נעשית במחשבון 
tan60
והתוצאה שלנו היא השיפוע

tan60=√3
זה השיפוע שלנו


נעבוד לפי הכלל הבא

"בהינתן שיפוע, ומוקד, נוכל לדעת מהי משוואת המשיק לפרבולה על פי הנוסחה הזאת

y=mx+n
n=(p/2m)
"y=mx+(p/2m)

יש לנו את השיפוע ויש לנו את נקודת המוקד

 √3 השיפוע הוא
אנחנו יודעים ש
p/2=1.5
לכן 
p=3

נציב ונמצא את משוואת המשיק שעובר דרך הנקודה D

y=√3x+(3/(2*√3)
y=√3x+(√3/2)


נשווה משוואת המשיק שעובר דרך הנקודה D עם משוואת הפרבולה מה שייתן לנו את נקודת החיתוך היחידה ביניהם זאת אומרת את שיעורי הנקודה D
y=√3x+(√3/2)
 y^2=6x

y=√(6x)

√(6x)=√3x+(√3/2)
נעלה בריבוע

6x=3x^2+(2*√3√3x/2)+(3/4)
6x=3x^2+3x+3/4
3x^2-3x+3/4=0
(3+0)/(2*6)=0.5
(3-0)/(2*6)=0.5

שיעור ה-x של D הוא 0.5

נציב את שיעור ה-x של D ונמצא את שיעור ה-y של D
y=√(6x)
x=0.5
y=√3

D(0.5, √3)

בשביל למצוא משוואת ישר אנחנו צריכים 
שיפוע
נקודה כלשהי

נוכל למצוא את משוואת הישר של AB

השיפוע הוא
√3
הנקודה היא
F(1.5,0)

נוסחת משוואת הישר:

y-y1=m(x-x1)

נציב בנוסחה

y-0=√3(x-1.5)
y=√3x-1.5√3

נשווה את משוואת הישר של AB ואת משוואת הפרבולה שנתונה לנו ונקבל את שתי הנקודות שהם A ו B

y=√3x-1.5√3
 y^2=6x

y=√(6x)


√(6x)=√3x-1.5√3
נעלה בריבוע
6x=3x^2-(2*√3*1.5√3x)+6.75
6x=3x^2-9x+6.75
0=3x^2-15x+6.75

x1=(15+12)/6=4.5
x2=(15-12)/6=0.5

נציב ונקבל את שיעורי ה -y
A(4.5,√27)
B(0.5,-√3)

נעשה נוסחת אמצע בשביל למצוא את הנקודה C


xM=(x1+x2)/2
yM=(y1+y2)/2


xC=(4.5+0.5)/2=2.5
yC=(√27-√3)/2=√3

C(2.5,√3)


סעיף ב'
נעשה מרחק בין הנקודות D ו C

נוסחת מרחק



d^2=(0.5-2.5)^2+(√3-√3)^2
d=2

נעשה מרחק בין הנקודות D ו F
d^2=(0.5-1.5)^2+(√3-0)^2
d=4

FD=DC

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה