יום שלישי, 19 בנובמבר 2013

תרגיל - ווקטורים תרגילים לחזרה מרחקים ישרים מישורים

פתרון תשובה מלאה הסבר דרך מדריך נוסחאות איך פותרים תשובה מלאה דרך מלאה

נתונות שתי הצגות פרמטריות של ישרים במרחב
L1: (1,2,-1)+t(3,1,-1)
L2: (k,k-1,2)+s(3,1,-1)
א. הראה שאין ערך של k עבורו הישרים מתלכדים.
ב. הישר L2 נמצא במישור פאי שמשוואתו x-9y-6z+11=0. מצא את k.
ג. מצא את המרחק בין הישרים L1 ו L2

פתרון סעיף א'
נעשה נקודה כללית של כל ישר, ונשווה:
  1. 1+3t=k+3s
  2. 2+t=k-1+s
  3. -1-t=2-s
3. -3+s=t

1. 1-9+3s=k+3s
     k=-1

2. 2-3+s=-8-1+s
     -1=-9
אין פיתרון לכן אין ערך של k עבורו הישרים מתלכדים.

פתרון סעיף ב'

L2: (k,k-1,2)+s(3,1,-1)

הישר L2 מוכל בתוך מישור פאי, לכן גם הנקודה הקבועה של L2 אשר מכילה את הערך k גם נמצאת במישור פאי - ויש לנו את משוואת המישור של פאי, פשוט נציב את ערכי הנקודה הקבועה  (k,k-1,2) במשוואת המישור  x-9y-6z+11=0

k-9k+9-12+11=0
-8k=-8
k=1

פתרון סעיף ג'


L1: (1,2,-1)+t(3,1,-1)
L2: (1,0,2)+s(3,1,-1)

כדי למצוא את המרחק בין הישרים המקבילים הללו - אנחנו ניקח נקודה קבועה מישר כלשהו, וניקח את הנקודה הכללית מהישר השני, אנחנו נחשב ככה מרחק של שתי נקודות (בעזרת הנוסחה) אחרי זה נגזור ונחפש את המינימום (המרחק הכי קצר - האנך הוא המרחק)

הנקודה הקבועה שלקחתי היא מישר L2:
(1,0,2)
לכן הנקודה הכללית שלקחתי היא מהישר L1:
(1+3t, 2+t, -1-t)

נוסחת מרחק בין שתי נקודות
d=√((1+3t-1)^2+(2+t-0)^2+(-1-t-2)^2)
d=√((3t)^2+(2+t)^2+(-3-t)^2)
d=√(9t^2+4-4t+t^2+9-6t+t^2)
d=√(11t^2-10t+13)
d'=(22t-10)/(2√(11t^2-10t+13)
המכנה לא מעניין אותנו כי הוא תמיד יהיה חיובי, לכן אנחנו נשווה את המונה לאפס
22t-10=0
22t=10
t=5/11


נציב את זה בנוסחת המרחק
d=√(11t^2-10t+13)
t=5/11
נראה שזוהי נקודת מינימום על ידי שרטוט של הישר  22t-10=0, ישר עולה לכם יש ירידה ואז עלייה מה שמסל לנו נקודת מינימום.

d=√(11*(5/11)^2-10*(5/11)+13)=3.2752


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה