יום שני, 18 בנובמבר 2013

תרגיל - ווקטורים ישרים מישורים ווקטורים תרגילים לחזרה

פתרון תשובה מלאה איך פותרים מדריך תשובה מלאה פתרון דרך מלאה הסבר

נתונים שני ישרים
L1: (2,2,1)+t(k,k+1, -2)
L2: (5,6,-9)+r(6, k+5, -4)
א. עבור איזה ערך של K הישרים מקבילים? (עלייך להראות שעבור הערך של K שמצאת הישרים לא מתלכדים).
ב. נתון שהנקודה 
(-3,2,0)
נמצאת על מישור פאי והישר L1 מאונך למישור הזה (עבור הערך של k שמצאת בסעיף א'). מצא את משוואת המישור פאי.
ג. מצא את נקודת החיתוך של הישר L2 והמישור פאי.
ד. חשב את הזוית שבין המישור פאי למישור [xz]


פתרון סעיף א'

כאשר ישרים כלשהו מקבילים זה לזה מתקיים התנאי הבא:
u=K*v
ניצור לנו מצב כזה בתרגיל ונמצא את K
(k,k+1, -2)=a(6, k+5, -4)

k=6a
k+1=a(k+5)
-2=-4a  → a=0.5

k=3
נציב את הערך של k שמצאנו

L1: (2,2,1)+t(3,4, -2)
L2: (5,6,-9)+r(6, 8, -4)

ניתן לשים לב כי הישרים L1 ו L2 מקבילים זה לזו משום שהם תלויים, אם נכפיל את ווקטור הכיוון של L1 בשתיים אז נקבל את ווקטור הכיוון של הישר L2 - וזה מקיים את התנאי הבא

u=K*v

נשווה את הנקודות הכלליות של הישרים L1 וL2
אם ייצא לנו במערכת המשוואות שאין פיתרון - זאת אומרת שהישרים מקבילים ולא מתלכדים
אם ייצא לנו במערכת המשוואות שיש אין סוף פתרונות - זאת אומרת שהישרים מתלכדים

2+3t=5+6r →-3+3t=6r → 2r=1+t
2+4t=6+8r
1-2t=-9-4r

8r=4+4t

2+4t=6+4+4t
2=10
אין פיתרון למערכת המשוואות הזאת לכן הישרים מקבילים זה לזה (ולא מתלכדים)

ב. פתרון סעיף ב'
כאשר ישר מאונך למישור - ווקטור הכיוון שהוא הוא הנורמל של המישור, זאת אומרת ש
L1: (2,2,1)+t(3,4, -2)
ווקטור הכיוון t הוא הנורמל של משוואת המישור של המישור

3x+4y-2z+d=0

נציב את הנקודה הנתונה לנו שנמצאת על המישור כדי למצוא את d
(-3,2,0)

3*(-3)+4*2-2*0+d=0
-9+8+0+d=
d=1

3x+4y-2z+1=0

ג. פתרון סעיף ג'
L2: (5,6,-9)+r(6, 8, -4)
3x+4y-2z+1=0

נעשה נקודה כללית לישר L2 ונציב את שיעור ה-x לx של משוואת המישור, שיעור הy לy של משוואת המישור וכך הלאה...

הנקודה הכללית של הישר L2
(5+6r, 6+8r, -9-4r)

מציב המשוואת המישור

3(5+6r)+4(6+8r)-2(-9-4r)+1=0
15+18r+24+32r+18+8r+1=0
58r=-58

r=-1
נציב את הערך של r שמצאנו בנקודה הכללית של הישר L2  וזאת התשובה

(-1,-2,-5)

ד. פתרון סעיף ד'
ניקח את הנורמל של משוואת המישור פאי

3x+4y-2z+1=0
(3,4,-2)

ניצור הצגה פרמטרית של המישור [xz]
ניקח שלוש נקודות (סתם נקודות העיקר ששיעור ה y הוא אפס)

(0,0,0)
(1,0,1)
(2,0,3)

x=p(1,0,1)+w(2,0,3)

נמצא את משוואת הישר של המישור [xy]


ניצור שני וקטור כיוון ונשים אותם בטבלה



z
y
x
c
b
a
f
e
d


המקדם של x
b*f-ec

המקדם של y
-(a*f*-e*d)

המקדם z
a*e-d*b




ניצור שני וקטור כיוון ונשים אותם בטבלה




z
y
x
1
0
1
3
0
2



המקדם של x
03-1*0=0

המקדם של y
-(1*3-1*2)=-1

המקדם z
1*0-2*0=0

ox-y+xz=0

(0,-1,0)
(3,4,-2)
(0,-1,0)

cos<a=(3*0+4*(-1)-2*0)/(√9+16+4)*√(1))
cos<a=(4)/(√29)*√29(1))

<a=42.03

תגובה 1: