יום שלישי, 12 בנובמבר 2013

תרגיל - הווקטור האלגברי תרגילים לחזרה סעיף זה כולל תרגילים מכל הסוגים עם וקטור אלגברי

פתרון תשובה תרגיל דרך מלאה הסבר מלא איך פותרים תשובה מלאה

נתונה פירמידה שבסיסה הוא מקבילית ABCD וקודקודה הוא N.
נתון A(2,-2,3)  B(0,0,4)  C(8,-4,4)  N(2,-1-6.5)     S
א. מצא את גודל הזווית ABC
ב. מצא את שטח המקבילית ABCD (בסיס הפירמידה)
ג. מצא את נפח הפירמידה



אנחנו נמצא קודם את משוואת הישר של AB ואת משוואת הישר של BC ונימצא את הזווית שלהם (הזווית בין וקטורי הכיוון היא הזווית בין שני הישרים)


AB: (0,0,4)+t(0-2,0-(-2),4-3)
AB: (0,0,4)+t(-2,2,1)

BC: (0,0,4)+S(0-8, 0-(-4), 4-4)
BC: (0,0,4)+S(-8, 4, 0)
BC: (0,0,4)+S(-2, 4, 0)


זווית בין שני ישרים
x=a+tu
x=b+sv

cos<הזווית=(u·v)/(√u^2√v^2)

אנחנו נעשה את הזווית שבין ווקטור הכיוון t ווקטור הכיוון s לפי הנוסחה

cos<a=(-2*(-2)+2*4+1*0)/(√((-2)^2+2^2+1^2)*√((-2)^2+4^2+0^2))
cos<a=(4+8+0)/(√(4+4+1*√(4+16+0))
cos<a=(12)/(√(9*√(20)
<a=26.56

סעיף ב'

כדי לחשב את שטח המקבילית אנחנו צריכים בסיס כפול גובה, נבחר לנו 

כבסיס את BC ונחשב את אורכו, הגובה לBC יהיה קו מנקודה A לישר 

BC (מרחק מנקודה לישר)



חישוב אורך BC

איך מחשבים אורך של שני נקודות



B(0,0,4)  C(8,-4,4)

BC=√(0-8)^2+(0-(-4))^2+(4-4)^2)
BC=√(64+16+0)
BC=√80

מרחק בין הנקודה A לישר BC

BC: (0,0,4)+S(-2, 4, 0)
A(2,-2,3)


מרחק בין נקודה לישר
נקודה
A(x1,y1,z1)
ישר
x=(x2,y2,z2)+t(x3,y3,z3)

המרחק בין הנקודה לישר הוא אורך האנך שמורידים מהנקודה A אל הישר.

מחשבים את המרחק בין הנקודה הנתונה לנקודה כללית של הישר
נקודה נתונה
A(x1,y1,z1)
נקודה כללית של הישר
B(x2+tx3, y2+ty3, z2+tz3)

מחשבים את המרחק בין שתי הנקודות
|AB|=√((x2+tx3-x1)^2+(y2+ty3-y1)^2+(z2+tz3-z1)^2)

בונים פונקציה ומחפשים את נקודת המינימום, שהוא יהיה הערך של t, שאותו נציב בנוסחת המרחק (המרחק הקצר ביותר הוא האנך ואותו אנחנו מחפשים לכן אנחנו מחפשים את המרחק המינימלי)


לכן ניקח את הנקודה הכללית של BC
BC: (0,0,4)+S(-2, 4, 0)
(0-2s, 0+4s, 4+0s)
(-2s, 4s, 4)
נעשה מרחק בין שני הנקודות A והנקודה הכללית
(-2s, 4s, 4)
A(2,-2,3)

d=√((-2s-2)^2+(4s-(-2))^2+(4-3)^2)
d=√(4s^2+8s+4+16s^2+16s+4+1)
d=√(20s^2+24s+9)

גוזרים את הפונקציה

d'=(40s+24)/(2√(20s^2+24s+9))

נשווה את המונה לאפס
40s+24=0
s=-0.6


מציבים את s במשוואת המרחק
s=-0.6
d=√(20s^2+24s+9)

d=√1.8

שטח המקבילית בסיס כפול גובה
√80*√1.8=12



סעיף ג'
גובה של פירמידה הוא גובה לבסיס, כפול שטח הבסיס כפול שליש
אנחנו צריכים למצוא את הגובה לבסיס, הגובה לבסיס שלנו הוא הגובה מהנקודה N אל המישור ABC
נוכל למצוא את המישור ABC

ניקח את הישר AB ונוסיף לו ווקטור כיוון (את הווקטור כיוון נעשה עם הנקודה הקבועה ועם הנקודה C)
C(8,-4,4)

ABC: (0,0,4)+t(-2,2,1)+p(0-8,0-(-4),4-4)
ABC: (0,0,4)+t(-2,2,1)+p(-8,4,0)
מרחק בין נקודה למישור
נקודה
(x1,y1,z1)
מישור
x=u+t*v+s*w
זה מה שאנחנו צריכים לעשות למישור:
כדי להגיע מהצגה פרמטרית של מישור למשוואת מישור: נשתמש בשיטה הדטרמיננטה
כלומר לעבור מ
x=u+t*v+s*w

ל

Ax+By+Cz+D=0

נסביר את אופן השימוש שלה כעת
ניצור שני וקטור כיוון ונשים אותם בטבלה




z
y
x
c
b
a
f
e
d



המקדם של x
b*f-ec


המקדם של y
-(a*f*-e*d)


המקדם z
a*e-d*b


נקבל את זה
Ax+By+Cz+D=0


יש לנו את A B C,
כדי למצוא את D אנחנו נציב נקודה אחת על משוואת המישור ונקבל את D.

Ax+By+Cz+D=0

אחרי שהגענו למצב הזה
Ax+By+Cz+D=0

נשתמש בנוסחה של מרחק בין נקודה לישר וזהו המרחק

d=|(A*x1+B*y1+C*z1+d)|/√(A^2+B^2+C^2)





ABC: (0,0,4)+t(-2,2,1)+p(-8,4,0)



z
y
x
1
2
2-
0
4
8-





המקדם של x
2*0-1*4=-4


המקדם של y
-(-2*0-1*-8)=-8


המקדם z
-2*4-2*-8=8

-4x-8y+8z+d=0

נציב את הנקודה
(0,0,4)
dכדי לבדוק מהו ה 

-4*0-8*0+8*4+d=0
32+d=0
d=-32

משוואת המישור ABC היא
-4x-8y+8z-32=0
-x+2y-8z=0

מרחק בין המישור לN
 N(2,-1,-6.5)

d=(-1*2+(-2)*(-1)+2*(-6.5))/((-1)^2+(-2)^2+2^2)
d=|(-2+2-13-8)|/√(1+4+4)
d=21/3=7


הגובה הוא שבע
שטח הבסיס הוא שתיים עשרה

(7*12)/3=28


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה