יום שני, 11 בנובמבר 2013

תרגיל הווקטור הגאומטרי

פתרון תשובה מלאה דרך שרטוט הסבר

במשולש ישר זוית ABC נתון ACB=90 <ABC=60>.נסמן ווקטור BA=u   ווקטור CA=v, נתון מכפלה סקלרית של שני הווקטורים u·v=36
א. מצא את צלעות המשולש ABC
ב. CD הוא גובה ליתר AB הבע את הווקטור CD באמצעות u ו-v.



פתרון

סעיף א'

נוסיף לשרטוט הנתון את הנתונים


נחשב את המכפלה הסקלרית של AB ו AC
הרי ש
-v·(-u)=v·u

cos30=(u·v)/(√u^2·√v^2)

אין לנו איך להתקדם מכאן בנתיים

המכפלה הסקלרית של שני ווקטורים שמאונכים זה לזו היא אפס לכן נמצא את BC למען המטרה הזו

BC=u-v

מכפלה סקלרית של BC ו AC
v(u-v)=0
vu-v^2=0
נציב את הנתון שאומר ש
u·v=36

36-v^2=0
|v|=6
האורך של הווקטור v הוא שש, לכן האורך של AC הוא שש
AC=6 

נמשיך את מה שעצרנו ממקודם

cos30=(u·v)/(√u^2·√v^2)
נציב 
√v^2=|v|=6
u·v=36

cos30=36/(√u^2·6
|u|=√48
האורך של הווקטור u הוא שורש ארבעים ושמונה, לכן האורך של AC הוא שורש ארבעים ושמונה
BA=√48

נעשה משפט פיתגורס במשולש ABC כדי למצוא את BC
BC=√12


סעיף ב'

ניתן לשים לב כי המשולשים הם משולשים דומים על פי ז.ז.ז

נרשום את הדימיון ואת היחסים ביניהם: היחסים בין הצלעות של משולשים דומים שוות זה לזו
משולש ABC דומה למשולש CBD
AB/CB=AC/CD=BC/BD

במשולש ישר זווית שזוויותיו הם שישים שלושים, הצלע מול הזווית בת השלושים מעלות היא חצי מהיתר
לכן
BD=0.5u

1/0.5=v/CD=0.5u/BD=2/1

2/1=0.5u/BD
BD=0.25u

AB=u=AD+BD=AD+0.25u
u=AD+0.25u
AD=0.75u

CD=0.75u-v

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה