יום שני, 18 בנובמבר 2013

תרגיל - ווקטורים תרגילים שהיו בבגרות תרגילים ברמה של בגרותסעיף זה כולל תרגילים לחזרה עם וקטורים מכל הסוגים

פתרון תשובה מלאה דרך שרטוטים הסברים נוסחאות דרך פתרון מדריך תשובה חינם

במשולש ABC הנקודה E נמצאת על הצלע AB והנקודה D נמצאת על הצלע AC.
AF הוא התיכון לצלע BC והוא חותך את הקטע ED בנקודה M. נסמן AB=u, AC=u
נתון:  AD:DC=1:3,  AE=0.75AB.
א. הבע את הווקטורים AD ו- ED באמצעות u ו-v.
ב. מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה M את התיכון AF.
ג. חשב את היחס בין שטח המשולש ADM לשטח המשולש EFM.
ד. נתון:  B(4,-3,10),  C(12,-9,4),  M(3,-1,2)   s  מצא את שיעורי הקודקוד A.



פתרון סעיף א'

נשרטט לפי הנתונים שיהיה לנו קל לנות על הסעיפים


ED=-0.75u+0.25v

BC= -u+v
BC=BF+FC
BD=FC
BF=FC= -0.5u+0.5v

AF=u -0.5u+0.5v
AF=0.5u+0.5v



פתרון סעיף ב'

מכיוון שהשאלה היא על היחס בין AM ל AF את היחס הזה אנחנו נסמן בנעלם בדרך הבאה:
AM=t·AF
נסמן גם את היחס בין EM לED כי אנחנו צריכים עוד משוואות כדי לפתור
EM=k·ED

אנחנו משתמשים בדבר הזה כי אנחנו יודעים שווקטור שווה, שמורכב מ u ו-v (לצורך הדומה) אז הווקטור השווה לו יהיו לו את אותם מקדמים של u ו v, למשל  TF=0.5u+0.75v ואומרים לנו ש TF=KN ו KN נראה כך KN=s·u+w·v    אז s=0.5 ו w=0.75



פעם אחת נמצא למה שווה AF ונציב, ופעם אחת נמצא למה שווה AM ונציב
פעם אחת נמצא למה שווה ED ונמציב, ופעם אחת נמצא למצא שווה EM ונציב 
ונשווה את המקמדים של הווקטורים השווים זה לזה (AM=AM, EM=EM)

הצבת AF
AF=0.5u+0.5v
AM=t·AF
נציב את זה
AM=t·(0.5u+0.5v)
AM=0.5u·t+0.5v·t

הצבת DE
ED=-0.75u+0.25v
EM=k·ED

EM=k(-0.75u+0.25v)  
EM=-0.75u·k+0.25v·k

מציאת AM על ידי הצבת EM
AM=0.75u+EM
EM=-0.75u·k+0.25v·k

AM=0.75u-0.75u·k+0.25v·k
AM=u(0.75-0.75·k)+0.25v·k

נשווה את המקדמים

0.75-0.75·k=0.5t
0.25·k=0.5t → t=0.5k

0.75-0.75·k=0.5·0.5
0.75-0.75·k=0.25k
0.75=k

t=0.5*0.75
t=3/8


AM=(3/8)*AF
זאת אומרת ש
FM=(5/8)
היחס הוא: התשובה היא 3:5



נמצא גם את היחס בין EM ל MD
EM=0.75ED
זאת אומרת ש
MD=0.25
3:1
ג. פתרון של סעיף ג'

נכתוב את היחסים בשרטוט





נמצא את היחס של המשולשים עם בדרך של מציאת שטח עם סינוס: צלע כפול צפלע כפול סינוס הזווית שביניהם כפול חצי,יש לנו את כל יחסי הצלעות לכן זה ייראה כך:








ד. פתרון סעיף ד'

נשרטט את הנתונים בשרטוט


כך נמצא את שיעורי הנקודה A

חלוקה של קטע ביחס נתון
A(x1,y1,z1)
B(x2,y2,z2)
E-?
k/p

xE=(x1*p+x2*k)/(k+p)
yE=(y1*p+y2*k)/(k+p)
zE=(z1*p+z2*k)/(k+p)

נמצא את שיעורי הנקודה F בעזרת נוסחת אמצע
xF=(4+12)/2=8
yF=(-3-9)/2=-6
zF=(10+4)/2=7

F(8, -6,7)



3=(5x+8*3)/8
3=(5x+24)/8
5x=0
x=0

-1=(5y-6*3)/8
-1=(5y-18)/8
-8=5y-18
10=5y
y=2

2=(5z+7*3)/8
2=(5z+21)/8
16=5z+21
-5=5z
z=-1

A(0,2.-1)





אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה