יום שני, 18 בנובמבר 2013

תרגיל - ישר מישור תרגילי חזרה תרגילים שהיו בבגרות 807 ווקטורים

איך פותרים הסבר הדגמה מדריך ווקטורים זוויות מכפלה סקלרית דרך פתרון מלאה תשובה מלאה שרטוטים 


בפירמידה משולשת ABCD הקודקודים הם  A(2,-1,1)  B(k,-3,3)  C(5,-3,2)  D(10,9,9)   0
נתון שהמקצוע AB ניצב לפאה BCD.
א. מצא את K והראה שהקמצועות CB ו-DB ניצבים זה לזה.
ב. חשב את הזוית שבין הקמצוע AB למקצוע AC.
ג. חשב את נפח הפירמידה

פתרון סעיף א'




AB מאונך לפאה BCD: אם ישר מאונך למישור - אזי כל ישר במישור גם הוא מאונך לאותו ישר.
נוכל להגיד שגם DC (ישר על המישור) מאונך על AB, לכן המכפלה הסלקרית של AB ו DC היא אפס:
DC=(5-10,-3-9,2-9)
DC=(-5,-12,-7)

AB=(k-2, -3-(-1), 3-1)
AB=(k-2, -2, 2)

AB·DC= -5(k-2)-12*(-2)-7*2=0
 -5(k-2)-12*(-2)-7*2=0
 -5k+10+24-14=0
-5k=-20
k=4

A(2,-1,1)  B(4,-3,3)  C(5,-3,2)  D(10,9,9)

נעשה מכפלה סקלרית של CB ו-DB
CB= (4-5, -3-(-3), 3-2)
CB= (-1, 0, 1)

DB=(4-10, -3-9, 3-9)
DB=(-6, -12, -6)

CB·DB= -1*(-6)+0*(-12)+1*(-6) = 6+0-6=0

אם מכפלה סקלרית בין שני ווקטורים נותנת אפס אזי שהזוית ביניהם היא תשעים מעלות, לכן CB ניצב לDB.


פתרון סעיף ב'

נמצא את המקצועות AB ו AC

A(2,-1,1)  B(4,-3,3)  C(5,-3,2)  D(10,9,9)

AB=(4-2,-3-(-1), 3-1)
AB=(2,-2.2)

AC=(5-2, -3-(-1), 2-1)
AC=(3,-2,1)

cos<a=(2*3-2*(-2)+2*1)/(√(2^2+(-2)^2+2^2)*√(3^2+(-2)^2+1^2))
cos<a=(6+4+2)/(√4+4+4)*√(9+4+1))
cos<a=(12)/(√12)*√(14))
<a=22.21

פתרון סעיף ג'
נפח פירמידה משולשת: שטח הבסיס כפול גובה, כל זה חלקי שלוש

נעשה את שטח הבסיס של המשולש BCD (צלע כפול גובה חלקי שתיים) 
ניקח את הצלע CB ו DB כי הם ניצבים זה לזה לפי מה שהוכחנו בסעיף א' - זאת אומרת שיש לנו בסיס ויש לנו גובה, נעשה את האורכים שלהם

CB= (-1, 0, 1)
DB=(-6, -12, -6)

|CB|= √(1+1)=√2
|DB|=√(36+12^2+36)=√216

שטח משולש BCD הוא
(√2*√216)/2=10.4

אורך AB שהוא הגובה של הפירמידה
AB=(2,-2.2)
|AB|=√(4+4+4)=√12

נפח הפירמידה הוא:


(√12*10.4)/3=12


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה