יום שלישי, 8 באוקטובר 2013

תרגיל עם פיתרון חישובים במישור בעזרת מכפלה סקלרית תשובה פיתרון מלא הסבר איך עושים

במשולש ABC ששטחו  75/2√. נתון AB=2,  
A=120. הצלע AD יוצאת מA והיא חותכת את הצלע BC בנקודה D.הנקודה D מחלקת את BC ביחס של
BD:DC=3:10.
נסמן  AB=u   AC=V
א. הבע את AD באמצעות u ו-v.
ב. הוכח: AD הוא גובה לצלע BC.

תשובות סופיות

א. 10u/13+3v/13


פיתרון מודרך ומוסבר


בשביל למצוא את AD אנחנו צריכים למצוא את DC בשביל שיהיה לנו מסלול סגור כי בווקטורים סכום מסלול סגור הוא אפס/
בשביל למצוא את DC אנחנו צריכים למצוא את BC
לפי היחסים הנתונים אנחנו מבינים ש DC הוא עשר חלקי שלוש עשרה מBC.
אנחנו נמצא את BC כך
BC+CA+AB=0
BC=v-u
אנחנו נמצא את DC DC הוא עשר חלקי שלוש עשרה מBC.

DC=10v/13-10u/13

נוכל למצוא גם את BD כי לפי היחס אנחנו יודעים שהוא שלוש חלקי שלוש עשרה מ BC
BD=3v/13-3u/13


נוכל למצוא עכשיו את AD
AD+DC+CA=0

AD=10u/13+3v/13


סעיף ב'
בשביל להגיד שAD הוא גובה אנחנו צריכים להוכיח שהמכפלה הסקלרית של שני הווקטורים של AD ו BC היא אפס. מכפלה סקלרית של שני ווקטורים מאונכים זה לזה היא אפס.
אין לנו מספיק נתונים בשביל לחשב את המכפלה הסקלרית ולכן
נשתמש ביתר הנתונים שיש לנו מהשאלה:

ניתן לחשב שטח משולש כך ובזה נעזר:
צלע כפול צלע כפול סינוס הזווית שביניהן חלקי שתיים

מדובר על הווקטורים AB AC, לאחר החישוב אנחנו מבינים שהאורך של הווקטור AC הוא חמש.

נוכל לחשב מהי המכפלה הסקלרית של הווקטורים u ו v שהם בעצם הווקטורים AC וAB בעזרת הנסחה:
|v·u|=cosα·|v|·|u|

אנחנו שהמכפלה הסקלרית שלהם שווה ל מינוס חמש.

 נוכל עכשיו לחשב את המכפלה הסקלרית של AD ו BC, אם נוכיח שהיא שווה לאפס הרי שהזווית ביניהם היא תשעים מעלות, מה שאומר לנו שהם מאונכים זה לזה.
לפי הנוסחה
|v·u|=cosα·|v|·|u|
 מבודדים את קוסינוס אלפא
מציבים את כל הנתונים שיש לנו ומצאנו - ויוצא לנו אפס שווה קוסינוס אלפא. זה אומר שאלפא שווה תשעים.




אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה