יום שני, 7 באוקטובר 2013

תרגיל חישובים במרחב בעזרת המכפלה הסקלרית (הווקטור הגיאומטרי)

שאלה עם פתרון מלא ומוסבר

בקוביה
 ABCDA'B'C'D'  
נסמן AB=U, AD=v, AA'=w
נתון 
|u|=|v|=|w|=1
א. הבע את
AC 
AC'
באמצעות
u, v, w
 AC' ואת אורך   AC ב. חשב את אורך
  CAC'  ג. חשב את הזווית


תשובות סופיות

AC=u+v.א
AC'=u+v+w
 √3, √2.ב
ג. 35.26


פיתרון מלא מוסבר ומודרך

א'
בווקטורים סכום מסלול סגור הוא אפס, כך נמצא את AC ואת 'AC.

נשרטט את המשולש שבו נמצא AC והוא יהיה "המסלול הסגור" שלנו:
משולש ACB, יש לנו את הווקטורים של שתי הצלעות האחרות ולכן אין לנו בעיה למצוא את הוקטור של AC
AC+CB+BA=0

    
נשרטט את המשולש שבו נמצא 'AC והוא יהיה "המסלול הסגור" שלנו:
משולש 'ACC, יש לנו את הווקטורים של שתי הצלעות האחרות (את AC מצאנו כבר), ו 'CC נתון שזה w ולכן אין לנו בעיה למצוא את הווקטור של 'AC
סיימנו את סעיף א'.


סעיף ב':

[איך מוצאים אורך של וקטור?
 נניח ש x הוא וקטור:
האורך שלו הוא הערך המוחלט של הוקטור:
|x|
בשביל לחשב את האורך, שיש לנו בעיה למצוא אותו ככה, אנחנו נחשב את הדבר השקול לביטוי הזה:
|x|=√(x^2)


[איקס הוא ביטוי של וקטור מסוים


מסעיף א
AC=u+v
AC'=u+v+w1

|AC|=√(u+v)^2
|AC'|=√(u+v+w)^2

פותחים, עושים את הריבוע, ומציבים לפי הנתון:

|u|=|v|=|w|=1
לא מספיק, נשתמש בנתון שאומר שזאת קוביה בדרך הבאה:
בקובייה יש אנכים ולפיכך הווקטורים אנכים זה לזה
:נשתמש בעובדה הבאה
מכפלה סקלרית של שני וקטורים מאונכים זה לזה היא אפס, לכן קוסינוס הזווית של שני וקטורים מאונכים זה לזה הוא אפס
זאת אומרת ש
u·w=w·v=u·v=0

אנחנו מציבים ומקבלים את הפיתרון


סעיף ג':
כדי לחשב זווית בווקטורים אנחנו משתמשים במכפלה סקלרית

[מכפלה סקאלרית:
איך מבצעים מכפלה סקלרית, מקרה כללי:
u ו v הם וקטורים, אלפא היא הזווית שביניהם
|v·u|=cosα·|v|·|u|


אנחנו מחפשים את הזווית שבין הצלעות AC ו 'AC שמצאנו בסעיף א', ומצאנו את אורכיהם בסעיף ב'.
באגף השמאלי עושים כפל ביניהם ומשתמשים בעובדה שכבר השתמשנו בה:
u·w=w·v=u·v=0

באגף הימני חישבנו כבר בסעיף ב', מה שנשאר לנו זה לבודד את cosα ולמצוא אותו בעזרת המחשבון.

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה