יום שבת, 5 באוקטובר 2013

המשוואה הכללית של המעגל תרגיל עם פתרון מלא מוסבר תשובה פיתרון


א.מצא את משוואת המעגל החוסם את הריבוע שאחד מקודקודיו הוא בראשית הצירים ומשוואת אחד מאלכסוניו היא
3x+y-10=0
ב. מצא את שאר קודקודי הריבוע


פיתרונות סופיים:

א.
משוואת המעגל החוסם את הריבוע  היא
(x-3)^2+(y-1)^2=10


ב.

(2,4)
(6,2)
(4,-2)




הפיתרון
ראשית נשרטט ריבוע שנחסם על ידי מעגל. ונעביר שני אלכסונים, נבחר קודקוד אחד שיהיה הנקודה (0,0).
אם אנחנו נציב ש x שווה אפס במשוואת הישר של האלכסון 3x+y-10=0 לא נקבל ש y שווה אפס. לכן משוואת האלכסון אינה עוברת בנקודה (0,0)  (ראשית הצירים).

אנחנו יודעים שבריבוע האלכסונים מאונכים זה לזה, הפרט הזה נותן לנו להשתמש בדבר הבא:
כאשר שני ישרים מאונכים זה לזה מכפלת שיפועיהם היא 1-, לכן אם אנחנו יודעים שיפוע אחד של האלכסונים אנחנו יכולים לדעת את השיפוע של האלכסון האחר כי הוא מאונך לו, אם למשל השיפוע של אלכסון אחד הוא 8 ,אז השיפוע של האלכסון אשר מאונך לו הוא יהיה הפוך בסימן הפוך: הוא יהיה (1/8-).

יש לנו את משוואת הישר של אלכסון אחד ולכן אנחנו יכולים לדעת מה השיפוע שלו, ואחר כך בזכות מה שרשמתי למעלה אנחנו יכולים לדעת מה השיפוע של האלכסון השני אשר מאונך לו.
אנחנו יכולים למצוא את משוואת הישר של האלכסון השני כי יש לנו נקודה ושיפוע: בעזרת הנוסחה:

y-y1=m(x-x1)

אחרי שמצאנו את משוואת הישר, אנחנו נשווה את שני משוואות הישר של האלכסונים ואנחנו נקבל את האיקס של נקודת המרכז של המעגל, נציב את ה x על אחד האלכסונים ונקבל את ה y של נקודת המרכז.
יש לנו את נקודת המרכז, יש לנו נקודה אחת נתונה על המעגל עצמו, אנחנו יכולים למצוא את הרדיוס ולאחר מכן למצוא את משוואת המעגל הזה.
נקודת המרכז היא (3,0)


משוואת כל המעגלים היא:
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

a הוא ה x של מרכז המעגל
b הוא ה y של מרכז המעגל
R הוא הרדיוס של המעגל
x הוא ה x של נקודה כלשהי על המעגל
y הוא ה y של נקודה כלשהי על המעגל

מציבים ומוצאים את R הוא שווה ל 10√


כשהם דורשים מאיתנו למצוא את משוואת המעגל ספציפית הם מתכוונים שנמצא את a b ו R
נציב ופתרנו את הסעיף.
3x+y-10=0


ב. את האלכסון שקשור לראשית הצירים אפשר למצוא על ידי נוסחת האמצע:

איקס של האמצע = (x1+x2)/2

ויי של האמצע = (y1+y2)/2
מצאנו קודקוד אחד
(6,2)

כעת בשביל למצוא את שאר הקודקודים אנחנו נשווה את משוואת הישר של המעגל עם משוואת הישר הנתונה וככה נמצא את שאר קודקודי הריבוע החסום



אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה