יום שבת, 5 באוקטובר 2013

הנדסה אנליטית משוואת המעגל שאלה תרגיל עם פיתרון

קדקודי משולש ABC הם:
נקודה A
(8,5)
נקודה B
X=7
Y=-2
נקודה C
X=-1
Y=2

א. מצא את משוואת האנך האמצעי לצלע BC ואת משוואת האנך האמצעי לצלע AC.
ב. מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש ABC
ג. מצא את משוואת המעגל הנ"ל מבלי להיעזר באנכים אמצעים.
ד. מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים.

הפתרונות הסופיים:
א.
משוואת האנך האמצעי לצלע BC היא
2x-y-6=0


משוואת האנך האמצעי לצלע AC היא

3x+y-14=0


ב. משוואת המעגל החוסם את המשולש ABC היא
(x-4)^2+(y-2)^2=25

ד. נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים הן:
(0,5)
(0,-1)
(-0.58,0)
(8.58,0)



א.אנך אמצעי הוא אנך אשר מאונך לצלע וחוצה אותה (אפשר לומר שהוא תיכון וגובה ביחד).
שררטו את המשולש, בעל שלוש קודקודים נתונים
נשתמש בעובדה שאנך אמצעי הוא חוצה את הצלע ולכן נחשב את אמצע הצלע BC ששמה נקודת המפגש של האנך האמצעי עם BC ונמצא ככה את שיעור הנקודה (נקרא לנקודה הזאת D)

הנוסחה לחישוב אמצע :
איקס של די = (x1+x2)/2

ויי של די = (y1+y2)/2

יש לנו נקודה, נוכל למצוא שיפוע ואז כך נמצא את משוואת הישר של האנך האמצעי לצלע BC
אנחנו מצא את השיפוע של BC בעזרת הנוסחה:
(y1-y2)/(x1-x2)

מכיוון שהאנך האמצעי מאונך לBC אז השיפוע שלו הוא אותו שיפוע רק הפוך בסימן הפוך
(למשל אם השיפוע הוא 4, אז השיפוע של המאונך שלו הוא (1/4-).

יש לנו נקודה ושיפוע ואנחנו יכולים למצו את משוואת האנך האמצעי לצלע BC בעזרת הנוסחה:
y-y1=m(x-x1)

נעשה את אותו תהליך כדי למצוא את משוואת האנך האמצעי לצלע AC.


ב. משוואת כל המעגלים היא:
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

a הוא ה x של מרכז המעגל
b הוא ה y של מרכז המעגל
R הוא הרדיוס של המעגל
x הוא ה x של נקודה כלשהי על המעגל
y הוא ה y של נקודה כלשהי על המעגל
כשהם דורשים מאיתנו למצוא את משוואת המעגל ספציפית הם מתכוונים שנמצא את a b ו R

יש משפט בגיאומטריה שאומר: מרכז המעגל החסום על ידי משולש הוא מרכז האנכים האמצעיים לכן אם אנחנו נשווה את משוואות האנכים האמצעים שיצאו לנו בסעיף אלף אנחנו נמצא את שיעורי האמצע של המעגל, את a ו b.
אחרי שמצאנו את a ו b מה שנותר לנו הוא למצוא את R.
יש בידנו:
את הנקודות  a b ועוד שלוש נקודות שנמצאות על המעגל שנתונות לנו:
נשתמש בנקודות a b ונשתמש באחת הנקודות מכאן:

נקודה A
(8,5)
נקודה B
X=7
Y=-2
נקודה C
X=-1
Y=2

נציב במשוואת המעגל
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

ונקבל את הרדיוס של המעגל, הוא שווה חמש.

כעת יש לנו את מה שאנחנו צריכים בשביל משוואת המעגל, יש לנו את a b ואת R וזה מספיק.

את ג. אפשר לפתור בכמה דרכים עם מערכת משוואות של שלושה נעלמים.. לא נתעסק עם זה סתם עבודה מיותרת.

ד. כדי למצוא את נקודת חיתוך של משוואת המעגל עם ציר X נציב בפיתרון ב' y שווה אפס. ואז תהיה לנו משוואה ריבועית כאשר שתי התשובות תתקבלנה.

כדי למצוא את נקודת חיתוך של משוואת המעגל עם ציר Y נציב בפיתרון ב' x שווה אפס. ואז תהיה לנו משוואה ריבועית כאשר שתי התשובות תתקבלנה.

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה