יום שני, 7 באוקטובר 2013

תרגיל מכפלה סקלרית ווקרטורים עם פיתרון

AB=2  AC=3 נתון  <A=90 ABC במשולש ישר זווית 
 AB=u    AC=v נסמן ש,A הוא חוצה הזווית AD 
א. הבע את AD באמצעות u ו v.
ב. חשב את האורך AD
ג. הראה ש- AD יוצר זווית של  עם כל אחד מהווקטורים u ו-v.

תשובות סופיות
א. 3u/5+2v/5
ב.5/2√6


פיתרון מלא מוסבר מודרך תשובה

נתון:
A הוא חוצה הזווית AD

נשתמש במשפט חוצה זווית, לפיכך:
CD/DB=AC/AB

לפי הנתון:
AB=2  AC=3

ניתן לומר ש
3/2=CD/DB=AC/AB

בשביל למצוא את AD נמצא מסלול סגור כי:בווקטורים סכום מסלול סגור הוא אפס,

AD+DB+AB=0
חסר לנו DB, נוכל לחשב אותו לפי היחס.

לפי היחס, DB הוא שתיים חלקי חמש מ CB, לכן נמצא את CB
בשביל למצוא את CB נמצא מסלול סגור כי:בווקטורים סכום מסלול סגור הוא אפס,
CB+BA+AC=0
CB=u-v

לפי מה שאמרתי: לפי היחס, DB הוא שתיים חלקי חמש מ CB
DB=2u/5-2v/5

 עכשיו נוכל למצוא את AD.


סעיף ב'

[איך מוצאים אורך של וקטור?
 נניח ש x הוא וקטור:
האורך שלו הוא הערך המוחלט של הוקטור:
|x|
בשביל לחשב את האורך, שיש לנו בעיה למצוא אותו ככה, אנחנו נחשב את הדבר השקול לביטוי הזה:
|x|=√(x^2)

[איקס הוא ביטוי של וקטור מסוים

מכפלה סקלרית של שני וקטורים מאונכים זה לזה היא אפס לכן
הווקטור u ו v מאונכים זה לזה לכן v·u=0
נשתמש ב:
v·u=0
AB=2  AC=3
|AD|=√( 3u/5+2v/5)^2
פותחים את הריבוע ומוצאים את AD


סעיף ג'

כדי לחשב זווית בווקטורים אנחנו משתמשים במכפלה סקלרית

[מכפלה סקאלרית:
איך מבצעים מכפלה סקלרית, מקרה כללי:
u ו v הם וקטורים, אלפא היא הזווית שביניהם
|v·u|=cosα·|v|·|u|
[

אנחנו מחפשים את הזווית שבין הצלעות AB ו AD
את הזווית בין הווקטורים u ל3u/5+2v/5.

נשתמש ב
AB=2 
v·u=0

נציב במכפלה הסקלרית, נבודד את cosα ונמצא את α בעזרת המחשבון

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה