יום ראשון, 27 באוקטובר 2013

תרגיל - חישוב המכפלה הסקלרית בהצגה אלגברית תרגיל עם פתרון תשובה מלאה הסבר איך עושים תשובה דרך הסברים חינם

קודקודיו של מרובע ABCD הם
A(1,-1,2)  B(1,2,-4)   C(6,4,2)   D(6,3,4)
א. הוכח שהמרובע הוא טרפז ישר זווית.
ב. חשב את הזווית החדה של הטרפז.
ג. חשב את הזווית החדה של המעויין.


בשביל להוכיח שהמרובע הוא טרפז צריך למצוא זוג של צלעות נגדיות מקבילות נשתמש בכלל הבא


u=(x1,y1,z1)
v=(x2,y2,z2)
שני ווקטורים יהיו מקבילים אך ורק כאשר
x1=k*x2
y1=k*y2
z1=k*z2

  קודם כל נמצא את ההצגה האלגברית של כל הצלעות לפי הנוסחה הבאה

נשתמש שוב ב
A(x1,y1,z1)
B(x2,y2,z2)
חישוב ווקטור בין שני נקודות
כדי לחשב מהו אורך הווקטור AB
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

AB
A(1,-1,2)  B(1,2,-4)
AB=(0,3.-6)

DC
  D(6,3,4)  C(6,4,2)
DC=(0,1,-2)


AD
A(1,-1,2)    D(6,3,4)
AD=(5,4,2)


BC
 B(1,2,-4)   C(6,4,2)
BC=(5,2,6)


אנו מזהים כי AB מקביל לDC כי אם נחלק את המספרים של AB בשלוש נקבל את DC

הוכחנו כי מדובר בטרפז עכשיו נחפש זווית ישרה וכך נראה שהטרפז הזה הוא ישר זווית 


נשתמש בנוסחה הזאת
מכפלה סקלרית של ווקטורים u v
cosα=|u·v|/(|u|·|v|)

ננסה את ונחשב את הזווית בין שני וקטורים סמוכים ואם התוצאה תהיה שווה אפס הריי שמדובר בקוסינוס תשעים שמאפס לנו את המשוואה

ננסה את AD ו DC
בשביל לחשב את הזווית ביניהם נהפוך אותם ל
DA DC
COS<ADC=|((-5,-4,-2)*(0,1,-2))|/√(((5^2,4^2,2^2))*√((0^2,1^2,-2^2)))
|0-4+4|
המונה יצא אפס, זאת אומרת שהזווית ביניהם היא תשעים מעלות זאת אמרת שהזוויות
ADC BAD 
הן זוויות ישרות בנות תשעים מעלות, הוכחנו שמדובר בטרפז ישר זווית


סעיף ב'

נחשב את הזווית BCD
CB CD

BC=(5,2,6)     CB=(-5,-2,-6)

DC=(0,1,-2)    CD=(0,-1,+2)   
מכפלה סקלרית של ווקטורים u v
cosα=|u·v|/(|u|·|v|)

COS<BCD=|(-5,-2,-6)*(0,-1,+2)|/(√((-5)^2,(-2)^2,(-6)^2))*√(0^2,(-1)^2,+2^2))

COS<BCD=|0+2-12|/(√(25+4+36)*√(0+1+4))
COS<BCD=|-10|/(√(25+4+36)*√(0+1+4))
COS<BCD=10/√65*√5

<BCD=56.31


סעיף ג'

שטח הטרפז: סכום הסביב כפול גובה חלקי שתיים

חישוב אורך הגובה לפי הנוסחה
u=(u1,u2,u3)
חישוב אורך ווקטור
|u|=√(u1^2+u2^2+u3^2)

AD הוא הגובה
AD=(5,4,2)
|AD|=√(5^2+4^2+2^2)
|AD|=√45

אורך הבסיס DC
DC=(0,1,-2)
|DC|=√(0^2+1^2+(-2)^2)
|DC|=√5

אורך הבסיס AB
AB=(0,3.-6)
|AB|=√(0^2+3^2+(-6)^2)
|AB|=√45

סכום הטפרז הישר זווית ABCD הוא
((√45+√5)*√45)/2
30




אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה