יום שבת, 26 באוקטובר 2013

ההצגה האלגברית של ווקטור,הצגה פרמטרית של ישר ,הצגה פרמטרית של מישור,משוואת מישור ,נוסחאות הסבר שרטוטים

הווקטור האלגברי (נקודה במערכת צירים)


מישור

וקטור אלגברי הוא קו ישר המחבר בין המוצא לנקודה במישור (מרחב), הכיוון הוא תמיד איפה שהנקודה.







ציר ה- x מואנך לציר ה-y:
 0x⊥0y
ציר ה-X מאונך לציר ה-Z :
0x⊥0z
ציר ה- y מאונך לציר ה-Z:
0y0z

הווקטור u
u=(x,y,z)

מכפלת ווקטור u במספר סקלרי
k הוא סקלר
k*u=(kx,ky,kz)

לדוגמה:
u=(3,-2,4)
5u=(15,-10,20)
(הווקטור u מתארך פי חמש)

u=(x1,y1,z1)
v=(x2,y2,z2)
חיבור וקטורים
u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
חיסור וקטורים
u-v=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
 שני ווקטורים יהיו שווים אך ורק כאשר
x1=x2
y1=y2
z1=z2
שני ווקטורים יהיו מקבילים אך ורק כאשר
x1=k*x2
y1=k*y2
z1=k*z2

A(x1,y1,z1)
B(x2,y2,z2)
איך עושים הצגה אלגברית (חישוב ווקטור בין שני נקודות)
כדי לחשב מהו אורך הווקטור AB
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
כדי לחשב מהו אורך הווקטור BA
(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
נקודת אמצע של הווקטורים
האמצע של AB / BA
((x1+x2/)/2,(y1+y2)/2,(z1+z2)/2)
מרחק בין שתי נקודות וקטור גאומטרי
|AB|=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)

חלוקה של קטע ביחס נתון
A(x1,y1,z1)
B(x2,y2,z2)
E-?
k/p

xE=(x1*p+x2*k)/(k+p)
yE=(y1*p+y2*k)/(k+p)
zE=(z1*p+z2*k)/(k+p)


ווקטור u
u=(u1,u2,u3)
ווקטור v
v=(v1,v2,v3)
חישוב אורך ווקטור
|u|=√(u1^2+u2^2+u3^2)
כפל וקטורים
u·v=u1*v1+u2*v2+u3*v3
מכפלה סקלרית של ווקטורים u v
cosα=|u·v|/(|u|·|v|)





הצגה פרמטרית של ישר:
u v הם וקטורים
דרוש:
*נקודה קבועה - u
*ווקטור כיוון - v (אותו נעשה מהנקודה הקבועה ונקודה שעל הישר)
כך זה נראה
x=u+t*v

x=(x1,y1,z1)+t(x2,y2,z2)

נקודות כלליות של הישר

(x1+t*x2, y1+t*y2, z1+t*z2)


הצגה פרמטרית של מישור
u v w הם וקטורים
דרוש:
*נקודה קבועה - u
* שתי נקודות עם כיוון שאותם נייצר בעזרת הווקטורים u v ו u w
x=u+t*v+s*w


משוואת מישור
Ax+By+Cz+D=0
אם נכפיל ב k זה ייראה כך
k*Ax+k*By+k*Cz+k*D=0

המישור מקביל לציר yz כאשר
A=0

המישור מקביל לציר xz כאשר
B=0

המישור מקביל לציר xy כאשר
C=0

המישור עובר דרך ראשית הצירים כאשר
D=0

המישור מלכד עם ציר xy כאשר
Cz=0

המישור מתלכד עם ציר xz כאשר
By=0

המישור מתלכד עם מישור yz כאשר
Ax=0


כדי למצוא נקודת חיתוך של המישור עם ציר x נציב
y=0
z=0


כדי למצוא נקודת חיתוך של המישור עם ציר y נציב
x=0
z=0

כדי למצוא נקודת חיתוך של המישור עם ציר Z נציב
x=0
y=0


כדי להגיע ממשוואת מישור להצגה פרמטרית של מישור
כלומר לעבור מ
Ax+By+Cz+D=0
ל
x=u+t*v+s*w

נמצא שלוש נקודות (אפשר להשתמש בנקודות החיתוך עם צירים)
 נקודה 1
 נקודה 2
נקודה 3
נקודה 1 נעשה אותה קבועה נסמן כווקטור u
נעשה הצגה אלגברית עם נקודה 1 ו-נקודה 2 - נסמן בווקטור v
נעשה הצגה אלגברית עם נקוקה 1 ו- נקודה 3 -נסמן בווקטור w
וכך זה ייראה
x=u+t*v+s*w


כדי להגיע מהצגה פרמטרית של מישור למשוואת מישור: נשתמש בשיטה הדטרמיננטה
כלומר לעבור מ
x=u+t*v+s*w

ל

Ax+By+Cz+D=0

נסביר את אופן השימוש שלה כעת
ניצור שני וקטור כיוון ונשים אותם בטבלה




z
y
x
c
b
a
f
e
d



המקדם של x
b*f-ec


המקדם של y
-(a*f*-e*d)


המקדם z
a*e-d*b


נקבל את זה
Ax+By+Cz+D=0


יש לנו את A B C,
כדי למצוא את D אנחנו נציב נקודה אחת על משוואת המישור ונקבל את D.

Ax+By+Cz+D=0



אם במערכת משוואות לינארית יש יותר נעלמים ממשוואות אז אפשר לפתור את המערכת רק בצורה פרמטרית זאת אומרת להפוך אחד מהנעלמים לפרמטר.

המצב שיש שלוש נעלמים ושני משוואות - הפתרון של מערכת משוואות כזאת הוא הצגה פרמטרית של ישר.

אם במערכת משוואות לינארית יש יותר משוואות מנעלמים פותרים לרגיל - לפני שני משוואות ואז בשאר המשוואות בודקים את התשובה אם זה לא נכון - אין פתרון למערכת המשוואות.


המצב ההדדי בין שני ישרים במרחב

x=(x1,y1,z1)+t(x2,y2,z2)y=(x3,y3,z3)+s(x4,y4,z4)
נשווה
x1+tx2=x3+sx4
y1+ty2=y3+sy4
z1+tz2=z3+sz4

כאשר יש פיתרון הישרים נחתכים
כאשר יש אינסוף פתרונות הישרים מתלכדים
כאשר אין פיתרון ויש קשר סקלרי בין וקטורי הכיוון הם מקביליםכאשר אין פיתרון ואין קשר סקלרי בין וקטורי הכיוון הם מצטלבים

המצב ההדדי של שני מישורים על פי משוואותיהםהכללים לקביעת מצבם ההדדי של שני מישורים:
a1x+b1y+c1z+d1=0a2x+b2y+c2z+d2=0

כאשר לא קיים פתרון ל t אז המישורים נחתכים

(a2,b2,c1)=t(a1,b1,c1)

כאשר קיים פתרון לt ומתקיים d2=td1 אז הישרים מתלכדים
(a2,b2,c1)=t(a1,b1,c1)

כאשר קיים פתרון לt ולא מתקיים d2=td1 אז הישרים מקבילים
(a2,b2,c1)=t(a1,b1,c1)


זווית בין שני ישרים

x=a+tu
x=b+sv

cos<הזווית=(u·v)/(√u^2√v^2)


לדוגמה נוספת לחצו כאן מרחק בין נקודה לישר
נקודה
A(x1,y1,z1)
ישר
x=(x2,y2,z2)+t(x3,y3,z3)

המרחק בין הנקודה לישר הוא אורך האנך שמורידים מהנקודה A אל הישר.

מחשבים את המרחק בין הנקודה הנתונה לנקודה כללית של הישר
נקודה נתונה
A(x1,y1,z1)
נקודה כללית של הישר
B(x2+tx3, y2+ty3, z2+tz3)

מחשבים את המרחק בין שתי הנקודות
|AB|=√((x2+tx3-x1)^2+(y2+ty3-y1)^2+(z2+tz3-z1)^2)

בונים פונקציה ומחפשים את נקודת המינימום, שהוא יהיה הערך של t, שאותו נציב בנוסחת המרחק (המרחק הקצר ביותר הוא האנך ואותו אנחנו מחפשים לכן אנחנו מחפשים את המרחק המינימלי)





מרחק בין נקודה למישור
נקודה
(x1,y1,z1)
מישור
x=u+t*v+s*w
זה מה שאנחנו צריכים לעשות למישור:
כדי להגיע מהצגה פרמטרית של מישור למשוואת מישור: נשתמש בשיטה הדטרמיננטה
כלומר לעבור מ
x=u+t*v+s*w

ל

Ax+By+Cz+D=0

נסביר את אופן השימוש שלה כעת
ניצור שני וקטור כיוון ונשים אותם בטבלה




z
y
x
c
b
a
f
e
d



המקדם של x
b*f-ec


המקדם של y
-(a*f*-e*d)


המקדם z
a*e-d*b


נקבל את זה
Ax+By+Cz+D=0


יש לנו את A B C,
כדי למצוא את D אנחנו נציב נקודה אחת על משוואת המישור ונקבל את D.

Ax+By+Cz+D=0

אחרי שהגענו למצב הזה
Ax+By+Cz+D=0

נשתמש בנוסחה של מרחק בין נקודה לישר וזהו המרחק

d=|(A*x1+B*y1+C*z1+d)|/√(A^2+B^2+C^2)




מרחק בין ישר לישר, ישרים מקבילים זה לזו
x=(x1,y1,z1)+t(x2,y2,z2)
x=(x3,y,3,z3)+s(x4,y4,z4)

מישר אחד לוקחים נקודה קבועה
ומהישר השני לוקחים נקודה כללית, מחשבים את המרחק בין שתי הנקודות הללו, בונים פונקציה ומחפשים את נקודת המינימום
נקודה קבועה
(x1,y1,z1)
נקודה כללית
B(x3+tx4, y3+ty4, z3+tz4)
|AB|=√((x3+tx4-x1)^2+(y3+ty4-y1)^2+(z3+tz4-z1)^2)


בונים פונקציה ומחפשים את נקודת המינימום, שהוא יהיה הערך של t, שאותו נציב בנוסחת המרחק (המרחק הקצר ביותר הוא האנך ואותו אנחנו מחפשים לכן אנחנו מחפשים את המרחק המינימלי)



מרחק בין ישר לישר, ישרים מצטלבים, מרחק בין ישרים מצטלבים

המרחק בין שני ישרים מצטלבים הוא המרחק שבין ישר אחד לבין מישור העובר דרך הישר השני ומקביל לישר הראשון

x=(x1,y1,z1)+t(x2,y2,z2)
y=(x3,y3,z3)+s(x4,y4,z4)

אנחנו צריכים לבנות מישור אשר מכיל אחד מהישרים ומקביל לישר השני
ניקח נקודה שבוע מהישר x, ניקח את הכיוון t מהישר x וניקח את הכיוון s מהישר y
כך אנחנו יוצרים מישור אשר הישר x מוכל בטוחו והוא מקביל לישר y 
p=(x1,y1,z1)+t(x2,y2,z2)+s(x4,y4,z4)
נעביר להצגה פרמטרית של מישור בשיטת הדרמיננטה כפי שהיא מופיעה פה

מחשבים את המרחק בין הנקודה הקבועה שלא נכללה במישור במקרה שלנו (x3,y3,z3) ומחשבים את המרחק בין הנקודה והישר (יש הסברים ואת הנוסחה למעלה)


מרחק בין מישור למישור - מישורים מקבילים
לוקחים נקודה כלשהי באחת מהמישורים ומחשבים את המרחק מהנקודה למישור השני
בוחרים נקודה אחת ממישור אחד
הופכים את המישור השני להצגה של משוואת מישור ועושים על פי הנוסחה של מיקום מרחק בין נקודה למישור.




זווית בין ישר למישור
איך עושים זווית בין ישר למישור, איך מחשבים זווית בין ישר למישור ווקטורים
אנחנו לוקחים את ווקטור הכיוון של הישר
אנחנו הופכים את ההצגה הפרמטרית של המישור למשוואת הישר של המישור, ויוצרים נקודה עם המקדמים שלו
אנחנו עושים מכפלה סקלרית בין הווקטור של הישר לבין הנקודה שיצרנו - במקום קוסינוס אלפא אנחנו עושים סינוס אלפא





מישורים מקבילים
למישורים מקבילים יש את אותו נורמל
ax+by+cz+d1=0
ax+by+cz+d2=0

מרחק בין מישורים מקבילים נוסחה



אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה