יום שני, 7 באוקטובר 2013

תרגיל - חישובים במישור בעזרת המכפלה הסקלרית הווקטור הגיאומטרי

תרגיל עם פתרון מלא שאלה עם תשובה תשובה מלאה

במשולש ישר זווית  (ABC (A=90
AB=6   AC=9
יש ישר היוצא מנקודה A ונפגש בנקודה D על הצלע CB
הנקודה D מחלקת את הצלע CB ביחס של
CD:DB=2:1
נסמן AB=u   AC=v
א. הבע את הווקטור AD באמצעות u ו-v.
ב. חשב את אורך הווקטור AD
ג. חשב את הזווית BAD.


תשובות סופיות

א. 1v/3+2u/3
ב. 5
ג. 36.87

כדי להביע ווקטור נשתמש בכלל שבווקטורים סכום מסלול סגור הוא אפס.
המשולש הסגור שלנו הוא 0=AD+DB+BA
הווקטור DB חסר לנו, נוכל למצוא אותו אם יהיה לנו את הווקטור CB כי נתון לנו היחס:
"הנקודה D מחלקת את הצלע CB ביחס של
CD:DB=2:1"

נעשה מסלול סגור ונמצא את BC:
BC+CA+AB=0
נמצא את BC לפי המשוואה למעלה.

לפי היחסים BC הוא שלם, ו DV הוא שליש ממנו לכן אנחנו נעשה DB של BC, זאת אומרת שליש כפול DB ובכך נמצא את ערכו של DB.
עכשיו נוכל להציב את DB במשוואה הראשונה של המעגל הסגור ולמצוא את AD


סעיף ב'

[מציאת אורך של וקטור
איך מוצאים אורך של וקטור?
 נניח ש x הוא וקטור:
האורך שלו הוא הערך המוחלט של הוקטור:v
|x|
בשביל לחשב את האורך, שיש לנו בעיה למצוא אותו ככה, אנחנו נחשב את הדבר השקול לביטוי הזה:
|x|=√(x^2)

איקס הוא ביטוי של וקטור מסוים, כאשר נעלה בריבוע מתחת לשורש, ואם יש לנו מספיק נתונים ונציב אותם ובכך נדע מהו האורך של הוקטור.]


מכפלה סקלרית של שני וקטורים מאונכים זה לזה היא אפס, לכן קוסינוס הזווית של שני וקטורים מאונכים זה לזה הוא אפס, ונתון לנו משולש ישר זווית, זאת אומרת שהקווטר u מאונך לווקטור v ו u המכפלה הסקלרית שלהם שווה אפס
u·v=0
AB=6   AC=9

נפתח את הריבוע, ונציב:
|AD|=√( 1v/3+2u/3)^2
|AD|=√(16+9)=5

סעיף ג'
כדי לחשב זווית בווקטורים אנחנו משתמשים במכפלה סקלרית

[מכפלה סקאלרית:
איך מבצעים מכפלה סקלרית, מקרה כללי:
u ו v הם וקטורים, אלפא היא הזווית שביניהם
|v·u|=cosα·|v|·|u|
[


אנחנו מחפשים את הזווית שבין הצלעות AB ו AD 

נשתמש ב
u·v=0
|AD|=5
AC=9

מה שנשאר לנו זה להציב בנוסחה, לבודד את cosα ולמצוא אותו בעזרת המחשבון.

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה