יום שני, 14 באוקטובר 2013

תרגיל - מעגל פיתרון מודרך חינם הסבר תשובה איך פותרים

למעגלים שמשוואותיהם x^2+y^2=25 ו- x^2+y^2-10x=k יש משיק משותף בנקודות שונות. נקודת ההשקה של המעגל הקנוני היא (4-,3).
א. מצא את k
ב. מצא את המשוואה של המעגל הקנוני שמשיק למעגל  x^2+y^2-10x=k אם ההשקה היא:
(1) מבחוץ
(2)מבפנים

תשובות סופיות

א. k=-21
ב.
(1) x^2+y^2=9
(2) x^2+y^2=49



פיתרון מודרך מוסבר

א.
נשרטט שני מעלים וישר אשר משיק להם בנקודות שונות. יש לנו את משוואת המעגל הקנוני במלואה שעליו אנחנו יודעים פרטים, לפי משוואת המעגל:
משוואת המעגל
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

a הוא ה x של מרכז המעגל
b הוא ה y של מרכז המעגל
R הוא הרדיוס של המעגל
x הוא ה x של נקודה כלשהי על המעגל
y הוא ה y של נקודה כלשהי על המעגל

 x^2+y^2=25 
במעגל קנוני ה a וה- b הם אפס. (נקודת המרכז היא בראשית הצירים (0,0) M
אפשר להסיק גם שהרדיוס של המעגל הקנוני הזה הוא 5 (שורש של עשרים וחמש).

לפי הנתון נקודת ההשקה של המעגל הקנוני עם הישר הזה היא: (4-,3) B



כדי להבין ולהסיק מהמעגל השני יותר נתונים אנחנו נסדר את משוואת המעגל לצורה שדומה למשוואת המעגל הכללית:
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

נעשה את זה כך

x^2+y^2-10x=k
x^2-10x+y^2=k
(x^2-10x+25)-25+y^2=k
(x^2-10x+25)+y^2=k+25
(x-5)^2+y^2=k+25

לפי משוואת המעגל שסידרנו אנחנו יכולים להסיק כמה מסקנות
שיעור ה-x של נקודת המרכז היא חמש, ושיעור ה-y של נקודת המרכז היא אפס. (5,0) M
נקודת ההשקה של המעגל עם הפרמטר k, היא הנקודה B.
הרדיוס בריבוע של המעגל הזה הוא k+25.

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. זאת אומרת שהרדיוס למשיק שלנו (הישר שמשיק לשני המעגלים בנקודות שונות) מאונך לו.


נמצא את השיפוע של הנקודות AO בעזרת הנוסחה:
 (y1-y2)/(x1-x2)

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה (AB מאונך לAO) לכן השיפוע של AB הוא שיפוע הפוך בסימן הפוך.

יש לנו נקודה על AB - יש לנו את הנקודה A, ויש לנו שיפוע של הנקודה (השיפוע ההפוך, והפוך בסימן ההפוך של BO) נוכל למצוא את משוואת הישר של הישר AB לפי הנוסחה:
y-y1=m(x-x1)

יש לנו את הישר AB ויש לנו את הנקודה M - המרחק בין הנקודה הזאת לישר הזה הוא הרדיוס של המעגל עם הפרמטר k. נחשב את המרחק הזה בעזרת הנוסחה של מרחק בין נקודה לישר:


מוצאים שהמרחק, שהוא גם הרדיוס שווה 2.

יש לנו את הרדיוס בריבוע לפי משוואת המעגל: k+25
אנחנו יודעים שהרדיוס הוא 2, ולכן הרדיוס בריבוע הוא 4.

נשווה אותם וככה נמצא את k

4=k+25

k=-21



ב. אנחנו צריכים למצוא את משוואת המעגל הקנוני של המשיק למעגל מבחוץ ומבפנים.

מעגל קנוני הוא מעגל שנקודת מרכזו היא על ראשית הצירים כלומר שיעור נקודת המרכז שלו היא (0,0)



(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

a הוא ה x של מרכז המעגל
b הוא ה y של מרכז המעגל
R הוא הרדיוס של המעגל
x הוא ה x של נקודה כלשהי על המעגל
y הוא ה y של נקודה כלשהי על המעגל

אנחנו יודעים ש a ו b הם אפס.
אנחנו לא יודעים מהו הערך של הרדיוס.

שמעגלים משיקים זה לזה מבחוץ אזי סכום הרדיוסים שלהם הוא המרחק בין הרדיוסים שלהם:

אנחנו נחשב את המרחק בין שני נקודות המרכז של המעגלים:
שיעור נקודת מרכז המעגל עם הפרמטר k  הוא (5,0) לפי מה שחישבנו פעם קודמת, ושיעור נקודת מרכז המעגל הקנוני הוא (0,0)
נחשב את המרחק בעזרת הנוסחה:
d^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
המרחק שיצא לנו הוא חמש.

המרחק הזה הוא התוצאה של הסכום של שני הרדיוסים נקרא להם רדיוס אחד ורדיוס שניים:

רדיוס אחד= מצאנו בסעיף הקודם הוא 2.
רדיוס שני - אנחנו נמצא אותו עכשיו

רדיוס אחד+רדיוס שני=5
רדיוס שני +2=5
הרדיוס השני שווה שלוש, זאת אומרת שמשוואת המעגל הקנוני שמשיק למעגל מבחוץ היא
x^2+y^2=9



עכשיו אנחנו נמצא את משוואת המעגל הקנוני אשר משיק לו מבפנים, המרחק בין שני הנקודות הוא אותו מרחק, מה שמשתנה הוא שהחיסור של הרדיוס הגדול פחות הרדיוס הקטן הוא זה ששווה למרחק ביניהם.

המרחק הוא חמש
רדיוס אחד הוא 2
רדיוס שני אנחנו לא יודעים אנחנו מנמצא אותו עכשיו

5=|x-2|
או שהתשובה היא
5=x-2
והרדיוס השני הוא 7 וזה מתקבל על הדעת

או שהתשובה היא
5=-x+2
והרדיוס השני שמתקבל הוא מינוס שלוש - לא מתקבל לא יכול להיות אורך רדיוס שלילי


לכן משוואת המעגל הקנוני שמשיק למעגל מבפנים היא
x^2+y^2=49

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה