יום חמישי, 14 במרץ 2013

הכנה לבחינת הבגרות במתמטיקה כיתה יא' שאלון 35806 בחינם בכל הנושאים: אלגברה, הסתברות (בעיות דרך ובעיות הספק, גיאומטריה, טריגונומטריה במישור, מעגל טריגונומטרי, חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי של פולינומים, של פונקציות שורש של פונקציות רציונליות ופונקציות טריגונומטריות – בחינם, עם הסברים מפורטים, בחינם. ריכזתי עבורכם את כל השאלות בכל הנושאים לבחינת הבגרות במתמטיקה, על מנת להקל עליכם בלמידה, הבחינות הן בחינות בגרות, בהצלחה לכולם


הכנה לבחינת הבגרות במתמטיקה כיתה יא' שאלון 35806 בחינם בכל הנושאים: אלגברה, הסתברות (בעיות דרך ובעיות הספק, גיאומטריה, טריגונומטריה במישור, מעגל טריגונומטרי,  חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי של פולינומים, של פונקציות שורש של פונקציות רציונליות ופונקציות טריגונומטריות – בחינם, עם הסברים מפורטים, בחינם.

ריכזתי עבורכם את כל השאלות בכל הנושאים לבחינת הבגרות במתמטיקה, על מנת להקל עליכם בלמידה, הבחינות הן בחינות בגרות, בהצלחה לכולם


הסתברות:

שאלת הסתברות עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,חורף תשע"ג, מס' 035806, 316+ נספח, 2013












שאלת הסתברות עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,מועד ב' תשע"ב, מס' 035806, 316+ נספח, 2012











שאלת הסתברות עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,מועד א' תשע"ב, מס' 035806, 316+ נספח, 2012












שאלת הסתברות עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,חורף תשע"ב, מס' 035806, 316+ נספח, 2012



















שאלת הסתברות עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,מועד ב' ,תשע"א, מס' 035806, 316+ נספח, 2011
















שאלת הסתברות עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,מועד א' ,תשע"א, מס' 035806, 316+ נספח, 2011













                                                                              







שאלת הסתברות עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,חורף ,תשע"א, מס' 035806, 316+ נספח, 2011

















שאלת הסתברות עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,מועד ב' ,תש"ע , מס' 035806, 316+ נספח, 2010















שאלת הסתברות עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,מועד א' ,תש"ע , מס' 035806, 316+ נספח, 2010














שאלת הסתברות עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,חורף ,תש"ע , מס' 035806, 316+ נספח, 2010















שאלת הסתברות עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,מועד ב' ,תשס"ט , מס' 035806, 316+ נספח,2009












שאלת הסתברות עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,מועד א' ,תשס"ט , מס' 035806, 316+ נספח,2009





































חקירת פונקציה טריגונומטרית 




התעסקות עם פונקציות טריגונומטרית דורשת הכרות עם כמה וכמה דברים:
זהויות:

Sinα=sin(180-α)
Sin(90-α)=cos(α)
Cos(α)=cos(-α)
Sin(-α)=-sin(α)
Tanα=sinα/cosα
Sin²α+cos²α=1
Sin(α±ß)sinαcosß±cosαsinß
Cos(α+ß)=cosαcosß-sinαcosα
Cos(α-ß)=cosαcosß+sinαcosα
Cotα=cosα/sinα
Tgα=1/cotα
Cos(90-α)=sinα
-sin(360-α)=cosα
cos(180-α)= -cos(α)

משוואות טריגונומטריות


המשוואה

הפתרונות במעלות

הפתרונות ברדיאנים


Sinx=sinα
X1=α+360k
X2=180-α+360k
X1=α+2πk
x2=π-α+2πk



Cosx=cosα

X1=α+360k
X2=-α+360k



X1=α+2πk
X2=-α+2πk
Tgx=tgα


X=α+180k
X=α+πk






המשוואה


הפתרונות במעלות



הפתרונות ברדיאנים




Sinx=0

Sinx=1

Sinx=-1
X=180k

X=90+360k

X=-90+180k

X=πk

X=π/2+2πk

X=-π/2+2πk
Cosx=0

Cosx=1

Cosx=-1


X=90+180k

X=360k

X=180+360k



X=π/2+πk

X=2πk

X=π+2πk

Tg=0

X=180k
X=πk

יש לזכור שבמציאת נקודות קיצון בפונקציה טריגונומטרית יש להכליל את הקצוות (התחומים).

Sinx=a
SHIFT SIN A=a1
X1=a1+360k
X2=(180-a1)+360k
[(sin(a)=sin(180-a)]


Cosx=a
SHIFT COS A
X1=a1+360k
X2=-a1+360k
[cos(a)=cos(-a)]


Tanx=a
SHIFT TAN A=a1
X=a1+180k
Tanx=(sinx/cosx)




פיתרונות מיוחדים:
Sinx=0
X=πk

Tan(x)=0
X=πk


Cosx=0
X=π/2+πk




זווית כפולה

2sin(x)cos(x)=sin(2x)
cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α




הפונקציה tan מוגדרת בכל תחום הגדרתה הנתון למעט:
X=π/2+π
ההסבר לכך הוא ש:
Tanx=sinx/cosx
וכאשר x שווה תשעים  אז יש אפס במכנה לכן אסור שאיקס יהיה שווה תשעים

sin(180)=sinα

sin2α=2sinαcoα

(x)'=1/(2√(x))



אינטגרל בעזרת הצבה:
שלבים:
נתוני הפונקציה
f(x)dx

מזהים את הדבר "הקשה" שהיינו רוצים שהוא יהיה ההצבה, נסמן אותו באות u
u=(expression)

גוזרים את הביטוי

du=(expression)'dx

מבודדים את dx

dx=du/(expression)'

מצביבים את u ואת dx  בפונקציה

(מצמצמים ועושים פעולות חשבוניות רגילות)

מנסים להגיע למשהו נחמד עם ה u ועושים אינטגרל רגיל.






כדי לזכור ש:
√x=x^(0.5)
1/√x=x^(-0.5)









http://download.cast-tv.com/22954_education/2013_1/102848_pitron-035806-00-heb.pdf

שאלת חקירת פונקציה טריגונומטרית עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,חורף תשע"ג, מס' 035806, 316+ נספח, 2013



הסבר מפורט:

סעיף א' 1
Sinx=0
פיתרון מיוחד

X=πk
התחום:
0 ס 3π

k=0→ x=0 בתחום
K=-1 → x=-π לא בתחום
K= 1 → x= π  בתחום
K = 2 → x= 2π בתחום
K= 3 → x= 3π  בתחום







0

π



עולה+

יורד-

+


עולה




0 x π  או  2π 3π



סעיף א' 2
f(x)= √(sinx)
f'(x)=[(cosx)]/[(2 √ (sinx))]

f(x)=0.5sinx
f'(x)=0.5cosx


אחרי מכנה משותף מגיעים למונה:

Cosx(1- √(sinx))


Cosx=0
פיתרון מיוחד
X=π/2+πk

התחום:
0 x π  או  2π 3π


K=0 → x=π/2 בתחום
K=-1 → x=-π/2 לא בתחום
K=1 → x= 1.5π לא בתחום
K=2 x=2.5π  בתחום
K=3 → x=3.5π לא בתחום


Sinx=1
פיתרון מיוחד
X=π/2+2πk

התחום:
0 x π  או  2π 3π


K=0 → x=π/2 בתחום
K=-1 → x=-1.5π לא בתחום
K=1 → x=2.5π בתחום
K=2 → x=4.5π לא בתחום




סעיף ג'

0.5sinx>√(sinx)
?

0.5sinx-√(sinx) >0

f(x) >0

זה לא נכון כי רואים בסירטוט בתחום שהפונקציה מקווימת
f(x) ≤ 0









http://kaye7.school.org.il/ace/kitz_tsheb_2012_moed_b_shalon_806_epr_yalin.pdf

שאלת חקירת פונקציה טריגונומטרית עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,קיץ תשע"ג מועד ב', מס' 035806, 316+ נספח, 2012



סעיף א 1
f(x)=cos^3(3x-π)
תחום:
0≤x≤2π/3

נשחק עם הפונקציה עם שני זהויות טריגונומטריות
1.cos(-α)=cosα
cos^3(3x-π)= cos^3(π-3x)


2.cos(π-α)=-cosα
cos^3(π-3x)=-cos^3(3x)
f(x)= cos^3(3x)
חיתוך עם ציר Y
f(0)=cos^3(0)=-1
f(x)= cos^3(3x)=0
cos(3x)=0


פיתרון מיוחד
cosx=0
x=π/2+πk


3x=π/2+πk
X=π/6+(π/3)k

תחום:
0≤x≤2π/3

K=0 → x=π/6 בתחום
K=-1 →x=-π/6 לא בתחום
K=1 → x=π/2 בתחום
K=2 → x=5π/6 לא בתחום





סעיף א 2

f(x)= cos^3(3x)
f'(x)= 3cos^2(3x)sin(3x)3=9cos^9(3x)sin(3x)



עשינו למעלה:
cosx=0
x=π/2+πk

Cos3x=0
3x=π/2+πk
X=π/6+(π/3)k

תחום:
0≤x≤2π/3

K=0 → x=π/6 בתחום
K=-1 →x=-π/6 לא בתחום
K=1 → x=π/2 בתחום
K=2 → x=5π/6 לא בתחום



sinx=0
x=πk

sin3x=0
3x=πk
X=πk/3

תחום:
0≤x≤2π/3

K=0 → x=0 בתחום
K=1 → x=π/3 בתחום
K=2 → x=2π/3בתחום









שאלת חקירת פונקציה טריגונומטרית עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה, תשע"ב חורף, מס' 035806, 316+ נספח, 2012




f(x)=4sin^2(x)cos^2(x)

נקודות חיתוך עם הצירים:

חיתוך עם ציר y
0=4sin^2(x)cos^2(x)

sin^2(x)=0
sinx=0

פיתרון מיוחד
x=πk

התחום:
0x≤π

K=0 → x=0 בתחום
K=1 → x=π בתחום




cosx=0

פיתרון מיוחד
X=π/2+πk
K=0 → x=π/2 בתחום


חיתוך עם ציר X


f(0)=4sin^2(0)cos^2(0)
(0,0)



סעיף ב'

f(x)=4sin^2(x)cos^2(x)

נשתמש בזהות כפולה שאומרת

2sin(x)cos(x)=sin(2x)


בפונקציה יש לנו את אותו דבר פעמיים כלומר ככה:


f(x)=2sin (x)cos(x)* 2sin (x)cos(x)

לכן:
f(x)= sin^2(2x)



עכשיו נותר לנו לגזור את הפונקציה:

f'(x)=2sin(2x)*cos(2x)*2



אפשר ליראות שיש לנו שוב שימוש בזהות כפולה
2sin(2x)*cos(2x)=sin4x

f'(x)=2*sin(4x)=0

שימוש בפיתרון מיוחד
sinx=0
x=πk


4x=πk
X=πk/4
בתחום
0x≤π


K=0 → x=0 בתחום
K=1 → x=π/4 בתחום
K=2 → x=2π/4=π/2 בתחום
K=3 → x=3π/4 בתחום
K=4 → x=π  בתחום



 

 

 

 

 

 

 

 

 

שאלת חקירת פונקציה טריגונומטרית עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,קיץ תשע"א מועד ב', מס' 035806, 316+ נספח, 2011





סעיף ב' 1

f(x)=1/cosx

cosx=0
בתחום
0x π2


פיתרון מיוחד:
x=π/2+πk

k=0 → x=π/2 בתחום
k=-1→ x=(-π/2) לא בתחום
k=1 → x=3π/2  בתחום
k=2 → x=5π/2  לא בתחום

הפונקציה מוגדרת בכל תחום הגדרתה למעט שני המספרים:
π/2 ו 3π/2



סעיף ב' 2


f(x)=1/cosx

f'(x)=sinx/2√(cosx)/1/2√cosx
Sinx=0
פיתרון מיוחד
תחום
0x π2

X=πk

K=0 → x=0   בתחום
K=1 →x=π בתחום
K=2 →x=2π בתחום

יש לזכור שבמציאת נקודות קיצון בפונקציה טריגונומטרית יש להכליל את הקצוות (התחומים).




שאלת חקירת פונקציה טריגונומטרית עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,קיץ תשע"א מועד א', מס' 035806, 316+ נספח, 2011

 

http://fgcl16.n1.cdn.co.il/bagrut/2011/math_2011_summer_nisuy_A_Q_806.pdf

 

http://kaye7.school.org.il/ace/shalon_806-kitz_2011_a-epr_yalin.pdf

 

סעיף א'

 

f(x)=cos(x^2-2x)

f'(x)=(2x-2)sin(x^2-2x)=0

 

2x-2=0

2x=2

X=1

 

 

לא המשכתי

 

 

 








שאלת חקירת פונקציה טריגונומטרית עם פתרון מודרך ומוסבר - מתמטיקה,חורף תשע"א , מס' 035806, 316+ נספח, 2011







סעיף א' 1


הסבר:
הפונקציה tan מוגדרת בכל תחום הגדרתה הנתון למעט:
X=π/2+π
ההסבר לכך הוא ש:
Tanx=sinx/cosx
וכאשר x שווה תשעים  אז יש אפס במכנה לכן אסור שאיקס יהיה שווה תשעים




x=π/2+πk
בתחום:
-3π/2≤x≤3π/2

K=-1 → x= -π/2
K=-2 → x= -3π/2
K=0 → x= π/2
K=1 → 3π/2

סעיף א' 3

f(x)=2tan^2(x)
f(x)=(4tanx)/(cos^2(x))

המכנה תמיד חיובי לכם אנחנו נבדוק מתי המונה מאתפס

Tanx=0
פיתרון מיוחד
התחום:
-3π/2≤x≤3π/2

X=πk


K=-1 → x=-π בתחום
K=0 → x=0  בתחום
K=1 → x=π בתחום



סעיף ב1

g(x)=tanx-x

נעשה שימוש ב:

(tanx)'=1/cos^2(x)

Cos^2(x)+sin^2(x)=1

Sinx/cosx=tanx




 

 

 













גיאומטריה 




לשם פתירת תרגילים בגיאומרטיה כפי שאתם רואים יש להיעזר במשפטים ובנימוקים שעליכם לזכור בעל פה, הינה הם מובאים לכן כאן, מסודרים וממוינים לפי נושאים:



רשימת משפטים בגיאומטריה שניתן לצטט בבחינת הבגרות ללא הוכחה[1]

הערות:

1.   בשאלות בגיאומטריה (שאלון 005) יש לנמק כל שלב בפתרון על ידי כתיבת המשפט הגיאומטרי המתאים. משפטים ידועים ניתנים לציטוט על ידי ציון שמם. את כל יתר המשפטים יש לנסח במדויק. המשפטים שאותם ניתן לרשום על ידי ציון שמם הם:
משפט פיתגורס, משפט תאלס, המשפט ההפוך למשפט תאלס, משפט תאלס המורחב, משפט חוצה הזווית, ארבעה משפטי החפיפה: צ.ז.צ., ז.צ.ז., צ. צ. צ., צלע, צלע והזווית מול הצלע הגדולה (ורק משפטים אלה), משפטי הדמיון, צ.ז.צ., ז.ז., צ. צ. צ., זווית בין משיק ומיתר.

2.   סדר המשפטים המופיע ברשימה זו אינו לפי סדר הוכחתם.

3.   במהלך פתרון שאלה בבחינת הבגרות, אין צורך להוכיח את המשפטים ברשימה, אלא אם יש בשאלה דרישה מפורשת לכך.

4.   אין לחפוף משולשים על ידי צ.ז.ז. אלא להראות שוויון הזווית השלישית ולהשתמש במשפט ז.צ.ז.






נוסחאות לחישוב שטחים
5.   ניתן להשתמש בנוסחאות הבאות לחישוב שטחים:
א.     שטח מקבילית שווה למכפלת צלע המקבילית בגובה לצלע זו.
ב.      שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לצלע זו.
ג.        שטח מעוין שווה למחצית מכפלת האלכסונים.
ד.      שטח טרפז שווה למכפלת הגובה במחצית סכום הבסיסים.
ה. שטח עיגול שרדיוסו r הוא πr²

המשפטים
·        זוויות צמודות משלימות זו את זו ל- °180.
·        זוויות קדקודיות שוות זו לזו.



משולשים

·        במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות.
·        במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות זו לזו.
·        סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית.
·        במשולש שווה שוקיים , חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
·        אם במשולש חוצה זווית הוא גובה , אז המשולש הוא שווה שוקיים.
·        אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון , אז המשולש הוא שווה שוקיים.
·        אם במשולש גובה הוא תיכון , אז המשולש הוא שווה שוקיים.
·        במשולש (שאינו שווה צלעות), מול הצלע הגדולה יותר מונחת זוית גדולה יותר.
·        במשולש (שאינו שווה זוויות), מול הזווית הגדולה יותר מונחת צלע גדולה יותר.
·        סכום הזוויות של משולש הוא .
·        זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.
·        קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
·        ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שניה, חוצה את הצלע השלישית.
·        קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים.
·        משפט חפיפה  צ.ז.צ.
·        משפט חפיפה  ז.צ.ז.
·        משפט חפיפה  צ.צ.צ.
·        משפט חפיפה  שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים.
·        במשולש ישר זווית, הניצב הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר.
·        שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
·        נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1.
(החלק הקרוב לקדקוד הוא פי 2 מהחלק האחר).
·        כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו.
·        אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משני שוקי זווית , אז היא נמצאת על חוצה הזווית.
·        שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש.
·        בכל משולש אפשר לחסום מעגל.
·        כל נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של קטע , נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
·         כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע, נמצאת על האנך האמצעי לקטע.
·        כל משולש ניתן לחסום במעגל.
·        במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת , שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.
·        שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
·         הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר.
·        משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית , סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
·        משפט פיתגורס ההפוך : משולש בו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית.
·        במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
·        משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית.
·        אם במשולש ישר זוית ,זוית חדה של °30, אז הניצב מול זוית זו שווה למחצית היתר.
·        אם במשולש ישר זוית ניצב שווה למחצית היתר , אז מול ניצב זה זוית שגודלה °30.
·        משפט תאלס: שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית , מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים.
·        משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים.
·        משפט הפוך למשפט תאלס: שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים הם ישרים מקבילים.
·        חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה.
·         ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה פנימית,ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר .
·        חוצה זווית חיצונית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית הצמודה לה חלוקה חיצונית ביחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית הפנימית הצמודה לה.
·         ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה חיצונית כיחס הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את הזווית החיצונית שדרך קודקודה הוא עובר.
·         משפט דמיון צ.ז.צ.
·        משפט דמיון ז.ז.
·        משפט דמיון צ.צ.צ.
·         במשולשים דומים:
א.      יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון.
ב.      יחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון.
ג.        יחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון.
ד.      יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון.
ה.      יחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווה ליחס הדמיון.
ו.        יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון.
ז.       יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון.





דלתון
·        האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש, חוצה את האלכסון השני ומאונך לו.


ישרים מקבילים
·        שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש  זוג זוויות מתאימות שוות ,אז שני הישרים מקבילים.
·        שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני הישרים מקבילים.
·        שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות הוא °180 אז שני הישרים מקבילים.
·        אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז:
ח.      כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו.
ט.      כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו.
י.        סכום כל זוג זוויות חד-צדדיות הוא °180.




מקבילית
·        במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
·        במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
·        במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.
·        מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
·        מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
·        מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
·        מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.



מעוין


·        במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות.
·        מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
·        במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה.
·        מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.


מלבן
·        אלכסוני המלבן שווים זה לזה.
·        מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.



טרפז
·        בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
·        טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
·        בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
·        טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.
·        קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
·        בטרפז , ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים, חוצה את השוק השנייה.




מעגל
·        ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- °180.
מרובע חוסם מעגל אם ורק אם סכום  שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.
·        כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.
·        בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.
·        דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד.
·        במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.
·        במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים  המתאימים  להן שווים זה לזה.
·        במעגל , מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו.
·        מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.
·        מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.
·        במעגל , אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר , אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.
·        האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר.
·        קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.
·        במעגל , זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.
·        במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים.
·        במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.
·        במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.
·        זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (°90).
·        זווית היקפית בת °90 נשענת על קוטר.
·        במעגל , זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.
·        במעגל , זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.
·        המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
·        ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.
·        זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.
·        שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
·        קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.
·        קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים , חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
·        נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.
·        אם במעגל שני מיתרים נחתכים, אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.
·         אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.
·         אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.



כללי

·        סכום הזוויות הפנימיות של מצולע קמור הוא (2-n)°180.
·         בכל מצולע משוכלל ניתן לחסום מעגל.
·        לכל מצולע משוכלל קיים מעגל חוסם.






[1] אין צורך להוכיח את המשפטים בבחינה , אלא אם יש דרישה מפורשת לכך בשאלה.




הגדרות מרובעים בגיאומטריה כולל תמונה, הגדרה, תכונות דרכי זיהוי מפורטים ומוסברים


הדלתון


הגדרה: מרובע המורכב משני משולשים שווים שוקיים בעלי בסיס משותף נקרא דלתון ( CD=CB; AD=AB)

תכונות:
1.   האלכסון הראשי בדלתון (AC):
- חוצה את זווית הראש
 <A1=<A2; <C1=<C2))
- מאונך לאלכסון המשני  
 (AC┴ BD)
2.   הזווית שבצידי האלכסון המשני שוות זו לזו <ABC=<ADC))




המקבילית



הגדרה: מרובע שכל צלעותיו הנגדיות מקבילות זו לזו נקרא מקבילית.
(AB||DC; AD||BC)

תכונות:
1.  כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו (AB=DC; AD=BC)
2.  כל זוג זוויות נגדיות שוות זו לזו ( <A=<C; <B=<D)
3.  סכום כל זוג זוויות סמוכות שווה ל- מאה שמונים מעלות (זוויות חד צדדיות)
(<A+<B=180;  <D+<A=180;  <C+<D=180;  <B+<C=180)
4.  האלכסונים חוצים זה את זה  ( AM=MC; BM=MD)

דרכי זיהוי
1.  מרובע שכל שתי צלעותיו הנגדיות שוות זו לזו (AD=BD, AB=DC), הוא מקבילית.
2.  מרובע שכל שתי זוויות הנגדיות שוות זו לזו ( A=<C, <B=<D>) הוא מקבילית
3.  מרובע שכל שתי זוויותיו הסמוכות סכומן מאה שמונים מעלות, הוא מקבילית.
4.  מרובע שאלכסונים חוצים זה את זה ( AM=MC, BM=MD), הוא מקבילית
5.  מרובע בו קיים זוג של צלעות נגדיות שוות וגם מקבילית (AB=DC, AB||CD), הוא מקבילית







המלבן




הגדרה: מקבילית בעלות זווית ישרה, נקראת מלבן (ABCD מקבילית, <A=90)
תכונות: (תכונות נוספות לתכונות המקבילית):
1.  כל זוויות המלבן הן זוויות ישרות 
(
 <A=<B=<C=<D=90)
2.  האלכסונים שווים זה לזה (BD=AC)

דרכי זיהוי:
1.  מקבילית שאלכסוניה שווים זה לזה היא מלבן.
2.  מרובע שכל זוויותיו שוות זו לזו הוא מלבן.
3.  מקבילית בעלת זווית ישרה (תשעים מעלות) היא מלבן.

המעוין




הגדרה:  מקבילית בעלת זוג צלעות סמוכות שוות, נקראת מעוין
(ABCD מקבילית, AB=BC)
תכונות: (תכונות נוספות לתכונות המקבילית):
1.   כל הצלעות במעוין שוות זו לזו (AB=BC=CD=AD)
2.   האלכסונים במעוין – חוצים את זוויות המעוין
                             – מאונכים זה לזה.

דרכי זיהוי:
1.    מקבילית שבה אלכסון אחד חוצה זווית אחת, היא מעוין.
2.    מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה היא מעוין.
3.     מרובע שכל צלעותיו שוות זו לזו הוא מעוין.




הריבוע

 

הגדרה:
1.    מלבן בעל שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.
2.    מעוין בעל זווית ישרה הינו ריבוע
3.    מרובע שכל צלעותיו וכל זוויות שוות זו לזו הינו ריבוע.

תכונות:
1.   כל צלעות הריבוע שוות זו לזו.
2.   כל זוויות הריבוע הן בנות תשעים מעלות.
3.   אלכסוני הריבוע.
א. שווים זה לזה.
ב. חוצים זה את זה
ג. מאונכים זה לזה
ד. חוצים את זוויות הריבוע.


























משפט חוצה זווית



בגאומטריה, משפט חוצה זווית קובע שחוצה זווית במשולש (זווית פנימית או זווית חיצונית), מחלק את הצלע בה הוא פוגע (או המשכה) ביחס שווה ליחס בין שוקי הזווית.
למשל, בתמונה שבצד, AD חוצה את זווית > וחותך אתBC ב-D, ולכן, 






המשפט ההפוך נכון גם הוא: אם ישר יוצא מקודקוד של משולש לעבר הצלע ממול ומחלק אותה ביחס שווה ליחס בין הצלעות, אזי אותו ישר הוא חוצה זווית.












משפט תאלס הסבר משפט תאלס, איך עושים משפט תאלס, גיאומטריה





הסבר משפט תאלס, איך עושים משפט תאלס, גיאומטריה

משפט תאלס

משפט תאלס הוא אחד המשפטים המרכזיים בתחום דמיון ופרופציה. בבחינת הבגרות הוא אחד המשפטים הבודדים שלא צריך להסביר, כלומר ניתן לכתוב "בגלל משפט תאלס" ולא צריך לכתוב "בגלל משפט תאלס האומר שקווים מקבילים יוצרים קטעים פרופציונליים על שוקי זווית".

בדף זה תמצאו הסברים למשפט תאלס ודרכי פתרון של תרגילים  הכוללים את משפט תאלס.

נושאי הדףמשפט תאלס הסברים

2.הרחבה ראשונה למשפט תאלס

3.הרחבה שניה למשפט תאלס


משפט תאלס הסברים
משפט תאלס - שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופרציונלים.
משפט תאלס עבור יותר משני חותכיםמשפט תאלס עבור יותר משני קווים מקביליםמשפט תאלס קלאסי


הרחבה ראשונה למשפט תאלס
אם הקטע DE מקביל לצלע המשולש BC אז מתקימים השוויונים הכתובים בשרטוט למטה - כלומר קיימת פרופורציה מתאימה גם בין שני הקטעים המקבילים וגם בין חלק משוק הזווית לשוק כולה.

הרחבה שניה למשפט תאלס

כמצוין בשרטוט כאן .
הרחבה שניה למשפט תאלסהרחבה ראשונה למשפט תאלס












פתרונות מלאים בגיאומטריה מבגרויות עם הסבר ותדרוך בחינם
















                       
























































































































לקוח מאתר דממה לחצו כאן למעבר לאתר המקורי



בעיות הספק



פתרון בעיות הספק דומה מאוד במהותו לפתרון בעיות תנועה. המהירות מוחלפת בהספק והדרך מוחלפת בכמות. משוואת ההספק היא אפוא,
הספק • זמן = כמות

יחידות ההספק הן כמות (מספר בריכות, מספר חביות וכו') חלקי יחידת זמן (שעה, דקה, יממה וכו').
יחידות הזמן זהות ליחידת הזמן שבשימוש לתיאור יחידת ההספק.
יחידות הכמות זהות ליחידת הכמות שבשימוש לתיאור יחידת ההספק.

ניתן מספר דוגמאות לבעיות הספק במדרג קושי עולה.

1. למשאבה לוקח 5 שעות למלא בריכה אחת. מהו הספק המשאבה? 

הספק נמדד ככמות חלקי זמן. אם המשאבה ממלאת בריכה אחת במשך 5 שעות הספקה הוא,

[שעה/בריכה] 5 / 1 = הספק

משמעות הספק זה הוא שהמשאבה ממלאת 1/5 מהבריכה תוך שעה אחת. לכן תוך 5 שעות היא תמלא את הבריכה כולה.

2. שתי משאבות ממלאות יחד בריכה אחת תוך 8 שעות. ידוע שמשאבה א' יכולה למלא את הבריכה לבדה תוך 24 שעות. תוך כמה שעות יכולה משאבה ב' למלא את הבריכה לבדה?

ההספק של משאבה א' ידוע מתוך העובדה שלוקח לה 24 שעות למלא את הבריכה,

1/24 = הספק של משאבה א'

משאבה זו פועלת במשך 8 שעות יחד עם משאבה ב'. במשך זמן פעולה זו חלקה של משאבה א' למילוי הבריכה הוא,

8 • 1/24 = 8/24 = 1/3 

כלומר, משאבה א' ממלאת 1/3 מקיבולת הבריכה. מכיוון שהבריכה מלאה כולה בסוף התהליך, משתמע שמשאבה ב' מילאה את 2/3 הבריכה הנותרים.

משאבה ב' הופעלה למשך אותו פרק זמן כמו משאבה א', 8 שעות, לכן הספקה הוא,

(2/3) / 8 = 2/3 • 1/8 = 1/12

כלומר, משאבה ב' יכולה למלא את הבריכה תוך 12 שעות.

3. משאבה הופעלה כדי לרוקן בריכה מלאה מים. המשאבה יכולה לרוקן את הבריכה תוך 4 שעות. מרגע הפעלת המשאבה החל לרדת גשם סוחף. אם הבריכה הייתה ריקה ושום משאבה לא הייתה מופעלת יכול היה הגשם למלא את הבריכה במים תוך 12 שעות. תוך כמה זמן תתרוקן הבריכה מרגע הפעלת המשאבה בהנחה שבמשך כל זמן פעולת המשאבה יורד גשם?

הספק פעולת ריקון המשאבה הוא,


1 / 4 

הספק פעולת המילוי של הגשם הוא,


1 / 12

הספק פעולת הריקון גדול יותר מהספק מילוי הבריכה לכן הבריכה תתרוקן בסופו של דבר. שתי הפעולות, של ריקון הבריכה ומילויה, הן מנוגדות אחת לשנייה. לכן, ההספק המשותף של שתי הפעולות יהיה הספק של פעולה אחת בחיסור ההספק של הפעולה המנוגדת לה.

ההספק המשותף המביא בסופו של דבר לריקון הברכה הוא,

1/4 – 1/12 = 2/12 = 1/6

כלומר, תוך 6 שעות תתרוקן הבריכה.

תוצאה זו הגיונית כי ללא הגשם הבריכה הייתה מתרוקנת ממים תוך 4 שעות. הגשם היורד רק מפריע לריקון הבריכה וגורם לכך שפעולת הריקון תארך יותר זמן, שעתיים יותר.

4. פועל א' זריז יותר מפועל ב' ומייצר 10% יותר פריטים ממנו ליחידת זמן. שני הפועלים עבדו במשך 8 שעות וייצרו יחד 48 פריטים יותר מאשר היה פועל ב' מייצר לו היה עובד לבדו במשך 6 שעות. כמה פריטים יוצרו סה"כ על ידי שני הפועלים?

נסמן ב- x את הספק עבודתו של פועל ב'. כלומר, פועל ב' מייצר x פריטים ליחידת זמן (שעה אחת). פועל א' הוא זריז יותר והספק עבודתו גבוה יותר ב- 25% מזה של פועל ב', לכן הספקו של פועל א' הוא 1.25x.

במשך 8 שעות עבודה מספר הפריטים שייצרו שני הפועלים יחד הוא,


8 • (x + 1.25x) = 18x

אילו עובד ב' היה עובד לבדו, אז מספר הפריטים שהוא היה מייצר לבדו הוא,


6 • x = 6x

מספר הפריטים ששני העובדים ייצרו יחד גדול ב- 60 ממספר זה. לכן נקבל,


18x = 6x + 48
12x = 48
x = 4

מכאן שהספקו של פועל ב' הוא 4 פריטים לשעה. הספקו של פועל א' הוא 5 פריטים לשעה. לכן, במשך 8 שעות עבודה ייצרו שני הפועלים 72 פריטים.

5. משאבה א' הופעלה למילוי בריכת-מים. משאבה ב' גם היא הופעלה באותו הזמן, אך בגלל בעיה טכנית היא פעלה לריקון הבריכה במקום למילויה. מפעיל המשאבות חזר לבריכה בדיוק 72 דקות לאחר הפעלתן בציפייה לחזות ברגע מילוי הבריכה. במקום זאת ראה המפעיל כי הבריכה מלאה רק לכדי 3/5. הוא מייד הפסיק את משאבה ב' והשאיר רק משאבה א' להמשיך לעבוד. מהו פרק הזמן הנוסף הנדרש מרגע הפסקת הפעולה של משאבה ב' עד שהבריכה תתמלא כולה?

נסמן את הספק משאבה א' באות x ואת הספק משאבה ב' y.

הספקן המשותף של שתי המשאבות ידוע מהעובדה שיחד הן ממלאות את הבריכה תוך 72 דקות. הספקן המשותף הוא 1/72 בריכה לדקה. לכן,


x + y = 1/72

ההפרש בין הספק שתי המשאבות ידוע מהעובדה שאחרי 72 דקות הצליחה משאבה א' למלא 3/5 מהבריכה זאת למרות הפרעתה של משאבה ב' שפעלה לריקון הבריכה.


x – y = (3/5) / 72
x – y = (3/5) • (1/72)
x = y + 1/120

נציב את ערכו של x מהמשוואה השנייה לתוך המשוואה הראשונה ונקבל,


(y + 1/120) + y = 1/72
2y = 1/72 – 1/120
2y = (120-72)/8640
y = 48/86402
y = 24/8640 = 1/360

x = y + 1/120 = 1/360 + 1/120 = 4/360 = 1/90

הספקה של משאבה א' הוא 1/90 בריכה לדקה. נותר לה למלא עוד 2/5 בריכה. משך הזמן שיידרש לה לשם כך הוא,


(2/5) / (1/90) = (2/5) • (90/1) = 36 

כלומר, 36 דקות אחרי הפסקת משאבה ב' תצליח משאבה א' למלא את הבריכה כולה.                                 





לקוח מאתר דממה לחצו כאן למעבר לאתר המקורי


בעיות תנועה



כל בעיות התנועה (בענף המתמטיקה) מתבססות על משוואה אחת בלבד:
מהירות • זמן = דרך

ממשוואה פשוטה יחידה זו ניתן לבנות בקלות בעיות תנועה קשות ומסובכות.

ניתן כאן כמה דוגמאות במדרג קושי עולה.

1. מכונית נוסעת במהירות של 50 קמ"ש (קילומטר לשעה) במשך שעתיים. מה הדרך שנסעה המכונית?

דרך = 50 [קמ"ש] • 2 [שעות] = 100 [ק"מ]

מכאן שהדרך שנסעה המכונית במשך השעתיים היא 100 ק"מ.

2. מטוס טס במהירות של 550 קמ"ש. על המטוס לעבור דרך של 1925 ק"מ. כמה זמן תימשך הטיסה?

זמן = 550 [קמ"ש] / 1925 [ק"מ] = 3.5 [שעות]

3. שתי רכבות יוצאות בו-זמנית זו לקראת זו. האחת נעה במהירות של 120 קמ"ש והשנייה במהירות של 80 קמ"ש. איזה דרך תעבור הרכבת הראשונה עד לנקודת המפגש בין השתיים אם המרחק ההתחלתי ביניהן הוא 600 ק"מ?

שתי הרכבות נוסעות למשך אותו פרק-זמן עד לנקודת המפגש. משך פרק-זמן זה הוא נעלם ונסמן אותו באות t.

כל אחת מהרכבות נעה במהירות שונה ולכן גם עוברת מרחק שונה. הדרך שהרכבת הראשונה עוברת הוא 120t והדרך שהרכבת השנייה עוברת הוא 80t.

סכום המרחקים ששתי הרכבות עוברות הוא 600 ק"מ. מכאן נקבל את המשוואה הבאה עם הנעלם t,


120t + 80t = 600
200t = 600
t = 600/200
t = 3

כלומר, משך זמן הנסיעה של כל רכבת הוא 3 שעות. משידוע זמן הנסיעה נוכל לחשב את הדרך שעברה הרכבת הראשונה,

דרך שעברה רכבת ראשונה = 3 [שעות] • 120 [קמ"ש]
דרך שעברה רכבת ראשונה = 360 [ק"מ]

4. איתי יוצא מביתו ב- 7:30 בבוקר ומתחיל ללכת לכיוון בית חברו, אייל, במהירות של 5 קמ"ש. אחרי 15 דקות יוצא גם אייל מביתו ומתחיל ללכת לכיוון בית חברו, איתי, במהירות של 4 קמ"ש. באיזו שעה ייפגשו השניים אם המרחק בין שני הבתים הוא 3.5 ק"מ?

נסמן את משך ההליכה של איתי בעזרת הנעלם t. המרחק בק"מ שעובר אייל הוא 5t. איתי לעומת זאת יצא מביתו 15 דקות מאוחר יותר. לכן משך זמן ההליכה של איתי בשעות הוא t-15/60, כלומר t-1/4. המרחק בק"מ שעובר איתי במשך זמן זה הוא 4(t-1/4).

הדרך שעברו שניהם יחד הוא 3.5 ק"מ. לכן נוכל לבנות את המשוואה הבאה,


5t + 4(t-1/4) = 3.5
5t + 4t – 1 = 3.5
9t = 4.5
t = 0.5 

משך זמן ההליכה של איתי הוא 0.5 שעות, כלומר חצי שעה.

השניים ייפגשו בשעה 8:00 בבוקר.

5. אייל יוצא חזרה לביתו מביתו של איתי במהירות קבועה. אחרי 5 דקות איתי יוצא מביתו להשיג את אייל במהירות הגדולה ב- 20% ממהירותו של אייל. 15 דקות אחרי שאיתי יצא מביתו עוד נותרו לו 150 מטרים כדי להשיג את אייל. מה היה הפרש המהירויות בקמ"ש ביניהם לטובת איתי?

איתי הולך במהירות v קמ"ש. אייל הולך במהירות הגדולה ב- 20%, לכן מהירותו היא 1.2v קמ"ש.

אייל הלך סה"כ 20 דקות. לכן הדרך שהוא עבר היא v•20/60.
איתי הלך רק 15 דקות. לכן הדרך שהוא עבר היא 1.2v•15/60.

הפרש הדרכים ביניהם הוא 150 מטרים, או 0.15 ק"מ, לטובת אייל. נקבל את המשוואה הבאה,


v/3 – 1.2v/4 = 0.15
v/3 – 0.3v = 0.15
v – 0.9v = 0.45
0.1v = 0.45
v = 4.5

מהירות ההליכה של אייל היא 4.5 קמ"ש.
מהירות ההליכה של איתי גדולה ב- 20% והיא לכן 1.2•4.5, שהם 5.4 קמ"ש.
הפרש המהירויות ביניהם הוא 5.4-4.5, כלומר 0.9 קמ"ש.

6. רכבת אחת יוצאת מתחנה באשקלון ונוסעת צפונה. באיחור מה לאחר-מכן יוצאת צפונה רכבת שנייה מהתחנה בחיפה. הרכבת השנייה מגיע לתחנה בנהרייה עוצרת שם למשך 15 דקות ואז חוזרת באותו מסלול דרומה. הרכבת שיצאה מאשקלון האטה בחצי את מהירות התקדמותה אחרי חצי שעה של נסיעה. הרכבת השנייה נסעה כל הזמן במהירות קבועה הנמוכה ב- 25% ממהירות הרכבת הראשונה בעת יציאתה מאשקלון. אחרי שעה וחצי מרגע יציאתה של הרכבת מאשקלון הדרך שעברה הרכבת מאשקלון הייתה בדיוק כפולה מזו של הרכבת שיצאה מחיפה. בכמה דקות איחרה הרכבת שיצאה מחיפה לעומת זו שיצאה מאשקלון?

נסמן ב- v (וביחידות של קמ"ש) את מהירות הרכבת שיצאה מאשקלון בעת יציאתה מאשקלון. במשך חצי השעה הראשונה לנסיעתה עברה רכבת זו דרך של 0.5v ק"מ. בשעת הנסיעה הנוספת האטה הרכבת את מהירותה בחצי, כלומר מהירותה הייתה 0.5v קמ"ש. במשך שעת הנסיעה הנוספת עד לעצירתה עברה הרכבת דרך נוספת של 1•0.5v ק"מ, כלומר עוד 0.5v ק"מ. סך הדרך שעברה הרכבת מאשקלון הוא,


0.5v+0.5v = v [ק"מ]

הרכבת השנייה שיצאה מחיפה עברה חצי מהדרך שעברה הרכבת שיצאה מאשקלון, לכן הדרך שהיא עברה היא (1/2)•v ק"מ. דרך זו עברה הרכבת במהירות קבועה הנמוכה ב- 25% ממהירות v, כלומר במהירות של 3/4)• v) קמ"ש. 

לכן משך זמן בו הייתה הרכבת שיצאה מחיפה בנסיעה הוא,


(1/2)v / (3/4)v =
(1/2) / (3/4) =
(1/2) • (4/3) =
4/6 =
2/3 [שעה]

2/3 משעה הם 40 דקות. במשך 40 דקות הייתה הרכבת בנסיעה במהירות של (3/4)v. אבל רכבת זו גם יצאה באיחור וגם עצרה למשך 15 דקות בנהרייה. נסמן ב- t את משך זמן איחור יציאת הרכבת בדקות. נחבר את שלושת פרקי הזמנים השונים ונשווה אותם למשך זמן (בדקות) נסיעת הרכבת שיצאה מאשקלון. הרכבת שיצאה מאשקלון נסעה במשך שעה וחצי, כלומר 90 דקות. נקבל ש-


40 + t + 15 = 90
t = 90 – 40 – 15
t = 35

הרכבת שיצאה מחיפה יצאה מהתחנה 35 מאוחר יותר מהרכבת שיצאה מאשקלון.

נשים לב שכדי לפתור את הבעיה סימנו את מהירות הרכבת שיצאה מאשקלון באות v, אך למרות שפתרנו את הבעיה ערכה של מהירות זו אינו ידוע לנו ואינו נדרש לפתרון הבעיה. סימון זה נדרש רק כדי לתאר את יחסי המהירויות והזמנים של שתי הרכבות.









בעיות מילוליות תנועה הספק





































































































































 

               

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה