יום שלישי, 2 באוקטובר 2012

משפטים בגיאומטריה


משולשים



משפטי חפיפה
משפט חפיפה ראשון  (צ.ז.צ.) – אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן, אז המשולשים חופפים.
משפט חפיפה שני  (ז.צ.ז.) – אם בשני משולשים שוות בהתאמה צלע ושתי הזוויות שלידה, אז המשולשים חופפים.
משפט חפיפה שלישי  (צ.צ.צ.) – אם בשני משולשים שוות בהתאמה שלוש הצלעות, אז המשולשים חופפים.
משפט חפיפה רביעי  – אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מהשתיים, אז המשולשים חופפים.
משולש שווה-שוקיים
משפט  -  זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
משפט הפוך  -  במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות.
משפט  -  אם במשולש חוצה הזווית מתלכד עם הגובה – אז המשולש שווה שוקיים.
משפט  -  אם במשולש התיכון מתלכד עם הגובה – אז המשולש שווה שוקיים.
משפט  -  אם במשולש חוצה הזווית מתלכד עם התיכון – אז המשולש שווה שוקיים.
דלתון
משפט  -  האלכסון הראשי בדלתון מקיים:   א.   חוצה את זווית הראש.
                                                                           ב.   חוצה את האלכסון המשני.
                                                                            ג.   מאונך לאלכסון המשני.
זוויות וצלעות במשולש
משפט  -  זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.
משפט  -  במשולש, מול צלע גדולה מונחת זווית גדולה, ולהיפך.
משפט  -  סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית.
משפט  -  סכום הזוויות הפנימיות במשולש שווה ל- 1800
ישרים מקבילים
משפט  -  נתונים שני ישרים הנחתכים ע"י ישר שלישי.   אם נמצא:
                                         א.    זוג אחד של זוויות מתאימות שוות
                             או        ב.    זוג אחד של זוויות מתחלפות שוות
                             או        ג.    זוג אחד של זוויות חד צדדיות שסכומן 1800
-            אז הישרים מקבילים.
משפט הפוך -  נתונים שני ישרים מקבילים, הנחתכים ע"י ישר שלישי. 
                             אז:      א.    כל שתי  זוויות מתאימות שוות זו לזו
                                         ב.    כל שתי  זוויות מתחלפות שוות זו לזו
                                         ג.    סכום כל זוג של זוויות חד צדדיות שווה   1800
אקסיומת המקבילים  - דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר נתון, ניתן להעביר ישר אחד ויחיד המקביל לישר   הנתון.               
אנך אמצעי לקטע
הגדרה: אנך לקטע נתון, החוצה אותו, נקרא אנך אמצעי לקטע.
משפט  -  אנך אמצעי לקטע הוא המקום הגיאומטרי של הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מקצות הקטע.
משפט  -  שלושת האנכים האמצעים במשולש נפגשים בנקודה אחת.  (מרכז המעגל החוסם את המשולש).
חוצה זווית
משפט  -  חוצה זווית הוא המקום הגיאומטרי של הנקודות הנמצאות במרחקים שווים משוקי הזווית.
                  הערה: מרחק נקודה מישר הוא אורכו של האנך מהנקודה אל הישר.
משפט  -  שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת.  (מרכז המעגל החסום במשולש).
משולש ישר זווית
משפט  -  במשולש ישר-זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
משפט הפוך  -  משולש שבו אחד מהתיכונים שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, הוא משולש ישר-זווית.
משפט  -  במשולש ישר-זווית שזוויותיו הן   300  ו- 600  הניצב שמול ה- 300    שווה למחצית היתר.
משפט הפוך  -  אם במשולש ישר זווית,  אחד מהניצבים שווה למחצית היתר, אז הזווית שמול ניצב זה שווה ל- 300  .




מרובעים



מקבילית
הגדרה:  מרובע שכל שתי צלעות נגדיות שלו מקבילות נקרא מקבילית.
משפט  -  כל שתי זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
משפט הפוך  -  מרובע שכל שתי זוויות נגדיות שלו שוות זו לזו הוא מקבילית.
משפט  -  כל שתי צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
משפט הפוך  -  מרובע שכל שתי צלעות נגדיות שלו שוות זו לזו הוא מקבילית.
משפט  -  האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה.
משפט הפוך  -  מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
משפט  -  מרובע בעל זוג אחד שלצלעות נגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית.
מלבן
הגדרות:   א.  מקבילית בעלת זווית ישרה נקראת מלבן.
                 ב.   מרובע שכל זוויותיו שוות נקרא מלבן.
משפט  -  האלכסונים במלבן שווים זה לזה.
משפט הפוך  -  מקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן.
מעויין
הגדרות:   א.  מקבילית בעלת זוג צלעות סמוכות שוות נקראת מעוין.
                 ב.   מרובע שכל צלעותיו שוות נקרא מעוין.
משפט  -  האלכסונים במעוין:    א.  חוצים את זוויות המעוין.
                                                       ב.   מאונכים זה לזה.
משפט הפוך  -  מקבילית שבה אלכסון אחד חוצה זווית אחת היא מעוין.
משפט הפוך  -  מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.
ריבוע
הגדרות:   א.   מרובע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות נקרא ריבוע.
                 ב.    מעוין בעל זווית ישרה נקרא ריבוע.         
                 ג.    מלבן בעל שתי צלעות סמוכות שוות, נקרא ריבוע.
טרפז
הגדרה:   מרובע שבו רק זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות נקרא טרפז.
טרפז שווה שוקיים
משפט  -  בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.
משפט הפוך  -  טרפז שבו זוויות הבסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
משפט  -  בטרפז שווה שוקיים האלכסונים  שווים זה לזה.
משפט הפוך  -  טרפז שבו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.

קטע אמצעים

קטע אמצעים במשולש
הגדרה:   קטע המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש נקרא קטע אמצעים במשולש.
משפט  -  קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
משפט הפוך  -  קטע במשולש, היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע שנייה – חוצה את הצלע השלישית.
משפט הפוך  -  קטע המחבר שתי נקודות הנמצאות על שתי צלעות במשולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה – הוא קטע אמצעים.
קטע אמצעים בטרפז
הגדרה:   קטע המחבר את אמצעי שתי השוקיים בטרפז  נקרא קטע אמצעים בטרפז.
משפט  -  קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
משפט הפוך  -  קטע היוצא מאמצע שוק אחת של הטרפז ומקביל לבסיסים – חוצה את הצלע השלישית.

נקודות מיוחדות במשולש

משפט  -  שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת.
משפט  -  כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו 2:1 (הקטע הארוך יותר ליד הקדקוד).
משפט  -  שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת.
משפט  -  שלושת האנכים האמצעים  במשולש נפגשים בנקודה אחת  (מרכז מעגל חוסם)
משפט  -  שלושת חוצי הזוויות  במשולש נפגשים בנקודה אחת  (מרכז מעגל חסום).

המעגל – הגדרות ומשפטים


הגדרות
המעגל – המקום הגיאומטרי של הנקודות שנמצאות במרחק קבוע מנקודה קבועה.
הנקודה הקבועה נקראת מרכז המעגל.  המרחק הקבוע נקרא רדיוס, ובעברית מחוג.
קטע המחבר שתי נקודות שעל המעגל נקרא מיתר.
מיתר העובר דרך המרכז נקרא קוטר.
חלק מהמעגל שבין שתי נקודות נקרא קשת.
זווית שהקדקוד שלה במרכז המעגל היא זווית מרכזית.
מיתרים ומרחקים
משפט  -  על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות , ולהיפך.
משפט  -  זוויות מרכזיות שוות נשענות על קשתות שוות, ולהיפך.
משפט  -  לזווית המרכזית הגדולה מתאימה הקשת הגדולה ומתאים המיתר הגדול, ולהיפך.
משפט  -  לזווית המרכזית הגדולה מתאימה הקשת הגדולה ומתאים המיתר הגדול, ולהיפך.
מרחק מיתר מהמרכז הוא אורך האנך המורד מ מרכז המעגל אל המיתר.
משפט  -  אנך ממרכז המעגל למיתר במעגל – חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית הנשענת על המיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר,  ולהיפך.
משפט  -  מיתרים שווים במעגל נמצאים במרחקים שווים מהמרכז, ולהיפך.
משפט  -  אם במעגל מיתר אחד יותר גדול ממיתר שני, אז מרחקו מהמרכז של המיתר הגדול יותר קטן ממרחקו מהמרכז של המיתר הקטן, ולהיפך.
זווית היקפית
הגדרה:  היא זווית שהקדקוד שלה על המעגל, ושוקיה הן מיתרים במעגל.
משפט -  זווית היקפית במעגל שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.
      או  -  זווית היקפית במעגל שווה למחצית הקשת עליה היא נשענת.
משפט -  כל הזוויות ההיקפיות במעגל הנשענות על אותה קשת, שוות זו לזו.
משפט -  זווית היקפית במעגל הנשענת על קוטר היא זווית ישרה, ולהיפך.
משפט -  על מיתרים שווים במעגל נשענות זוויות היקפיות שוות , ולהיפך.
משפט -  על קשתות שוות במעגל נשענות זוויות היקפיות שוות, ולהיפך.
הגדרה:  זווית הנוצרת בין שני מיתרים הנחתכים בתוך המעגל היא זווית פנימית במעגל.
משפט -  זווית פנימית במעגל שווה לחצי סכום הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכי השוקיים.
הגדרה:  זווית הנוצרת בין שני חותכים למעגל היוצאים מאותה נקודה היא זווית חיצונית למעגל.
משפט -  זווית חיצונית למעגל שווה לחצי הפרש הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית.
משיק
הגדרה:  ישר שיש לו נקודה אחת ויחידה משותפת עם המעגל הוא משיק למעגל.  הנקודה המשותפת נקראת נקודת ההשקה (או נקודת המגע).
משפט -  רדיוס המגיע לנקודת ההשקה – מאונך למשיק.
משפט הפוך -  ישר, המאונך לרדיוס בקצה הרדיוס, הוא משיק למעגל.
משפט -  שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה, שווים זה לזה.      
משפט -  הקטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה שממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.
משפט -  הזווית בין משיק למיתר במעגל הנפגשים בנקודת ההשקה, שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר (או – שווה למחצית הקשת הכלואה בתוכה).
שני מעגלים
הגדרה:  הקטע המחבר את מרכזיהם של שני מעגלים נקרא קטע מרכזים.
משפט -  קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
משפט (עבור השקה חיצונית)  -  קטע המרכזים של מעגלים משיקים חיצונית עובר בנקודת ההשקה, ושווה לסכום הרדיוסים של שני המעגלים. 
משפט (עבור השקה פנימית)  -  המשך קטע המרכזים של מעגלים משיקים פנימית עובר בנקודת ההשקה, ושווה להפרש הרדיוסים של שני המעגלים. 
מעגל חוסם משולש ומעגל חסום במשולש
הגדרה:  מעגל העובר דרך שלושת הקדקודים של משולש הוא מעגל חוסם משולש.  המשולש ייקרא משולש חסום במעגל.
משפט -  מרכז המעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות המשולש.
הגדרה:  מעגל ששלוש הצלעות של משולש משיקות לו הוא מעגל חסום במשולש.
משפט -  מרכז המעגל החסום משולש הוא מפגש חוצי הזוויות של המשולש.
מעגל חוסם מרובע ומעגל חסום במרובע
הגדרה:  מרובע שכל ארבעת קדקודיו על המעגל הוא מרובע חסום במעגל,  או – מרובע בר חסימה.
משפט -  במרובע החסום במעגל, סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא  1800 .
משפט -  אם במרובע יש זוג אחד של זוויות נגדיות שסכומן  180אז ניתן לחסום אותו במעגל.
הגדרה:  מרובע שכל צלעותיו משיקות למעגל הוא מרובע חוסם מעגל.
משפט -  במרובע חוסם מעגל, סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני.
משפט -  אם במרובע סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני, אז אפשר לחסום מעגל בתוך המרובע.
מצולע משוכלל ומעגל
משפט -  כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.   בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.
                 הערה:   לשני המעגלים אותו מרכז – מפגש חוצי הזוויות של המצולע.
                 מקרה פרטי א:  משולש שווה צלעות – מרכזי המעגלים במפגש הגבהים /חוצי זוויות/תיכונים.
                 מקרה פרטי ב:  ריבוע – מרכזי המעגלים במפגש האלכסונים.




שטחים


משפט -  שטח מלבן שווה למכפלת צלע אחת בצלע שניה.
משפט -  שטח מקבילית  שווה למכפלת צלע אחת בגובה שלה.
משפט -  שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע בגובה שלה.
משפט -  שטח טרפז שווה למחצית המכפלה של סכום הבסיסים בגובה.
משפט -  שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה שווה למחצית מכפלת האלכסונים.
משפט  פיתגורס -  במשולש ישר זווית, סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.


פרופורציה ודמיון

משפט תלס -  שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים.
הרחבה א' של משפט תלס – נתונים שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית.  יחס החותכים שווה ליחס מרחקי החותכים משוקי הזווית.
הרחבה ב' של משפט תלס – נתונים שני ישרים מקבילים החותכים את השוקיים של שתי זוויות קדקודיות.  יחס החותכים שווה ליחס מרחקי החותכים משוקי הזווית.
משפט תלס בטרפז -  ישרים מקבילים החותכים שוקי טרפז מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים.
משפט הפוך למשפט תלס -  שני ישרים המקצים על שוקי זווית קטעים פרופורציוניים – מקבילים זה לזה.
משפט חוצה זווית -  חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות הכולאות את הזווית.
משפט הפוך למשפט חוצה זווית -  קטע המחבר קודקוד במשולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות היוצרות את הזווית – חוצה את הזווית.
משפטי דמיון
משפט דמיון ראשון  (צ.ז.צ.) – אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות צלעות מתאימות, והזווית שביניהן שווה בהתאמה – אז המשולשים דומים.
משפט דמיון שני  (ז.צ.ז.) – אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות - אז המשולשים דומים.
משפט דמיון שלישי  (צ.צ.צ.) – אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שלושת זוגות הצלעות המתאימות -אז המשולשים דומים.
משפט דמיון רביעי  – אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות של צלעות מתאימות, והזוויות שמול הצלע הגדולה מהשתיים שוות בהתאמה – אז המשולשים דומים.
קטעים מתאימים במשולשים דומים, שטחים של משולשים דומים
משפט -  גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
משפט -  חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
משפט -  תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
משפט -  הרדיוסים של המעגלים החוסמים משולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
משפט - הרדיוסים של המעגלים החסומים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
משפט -  ההיקפים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
משפט -  שטחים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כריבוע  יחס שבין הצלעות המתאימות.
פרופורציות במשולש ישר-זווית
משפט -  הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר.
משפט -  ניצב במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר.
פרופורציות במעגל
משפט -  שני מיתרים נחתכים במעגל, מחלקים זה את זה כך שמכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.
משפט -  אם למעגל יוצאים שני חותכים מאותה נקודה, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.
משפט -  אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה