יום שני, 13 בינואר 2020

אלגברה ליניארית 1 ברמה של האוניברסיטה הפתוחה כל מה שצריך לדעת שאלות ותשובות חלק 2

הגדרה:
A∈Mmxn(F)
מרחב השורות של A זה המרחב:
W_A_R=Sp{rows of A}⊆F^n

for example:
A

1
2
3
4
5
6



W_A_R=Sp{(1,2,3),(4,5,6)}

מרחב השורות של מטריצה לא משתנה כתוצאה מדירוג.

נגדיר:
S={(1,2,3),(2,2,1)}
T={(2,3,-1),(3,0,2)}
האם מתקיים:
SpS=SpT

מתי מתקיים שוויון בין Spans?
SpS=SpT ⇔ SSpT AND TSpS

פתרון:
נגדיר :
A= 
1
2
3
2
2
1

 מתקיים:
SpS=W_A_R
לפי המשפט שהזכרנו קודם, פעולות אלמנטריות לא משנות את מרחב השורות של A.
לכן לאחר דירוג מטריצות נקבל:
A'= 
1
0
-2
0
1
5/2


 SpS=Sp{(1,0,-2),(0,1/5/2)}


נגדיר
B 
2
3
-1
3
0
2
 SpT=W_B_R
לאחר דירוג של B (פעולות אלמנטריות על מרחב השורות לא משנות את מרחב השורות של B)
B' 
1
0
-2/3
0
1
1/9

 SpT=Sp{(1,0,-2/3),(0,1,1/9)}

therefore SpS≠SpT
משום ש:
(0,1,5/2)∈SpS
אך לא ב-SpT, כי הוא לא צירוף לינארי של
(1,0,-2/3),(0,1,1/9)


כי למערכת המשוואות הבאה:
1x=0
y=1
-2/3[x]+1/9[y]=5/2
אין פתרון.



אם
U,W⊆V
הם תתי מרחבים, אזי מתקיים
U∩W 
הם גם תת מרחב

ובנוסף מתקיים:

U,W⊆V
הם תתי מרחבים, אזי מתקיים
U∪W  תת מרחב אם ורק אם U⊆W or W⊆U


כעת נגדיר מהו חיבור מרחבים
יהיו U,W תתי מרחבים של V, אזי מתקיים:
U+W={u+w|u∈U,w∈W}
חיבור של תת מרחבים , U+W מעניק לנו תת מרחב של V והוא מכיל את U ו-W.

U={(x,y,0)|x,yℝ}
W=(0,0,z)|zℝ}


משפט חשוב:
SpS+SpT=Sp(SUT)


הגדרה: נאמר שהסכום U+W הוא סכום ישר אם מתקיים
U∩W={0}
ובמקרה זה נסמן
U+W=U⊕W


האם מתקיים
R3[X]=UW
R3[X]  - פולינומים שהמעלה הכי גבוהה בהם היא 3
U=Sp{x^2-x,x+1}
W=Sp{x,x+3}

על מנת לענות על שאלה זו נצטרך לבדוק שני דברים:
1. האם מתקיים
U+W=R3[x]
2. במידה ותנאי אחד מתקיים, נבדוק האם

U∩W={0}

אנו יודעים כי 
R3[x]=Sp{x^2,x,1}
לפי המשפט:
SpS+SpT=Sp(SUT)

U+W=Sp{x^2-x,x+1}+Sp{x,x+3}=Sp{x^2-x,x+1,x,x+3}
מותר לבצע פעולות אלמנטריות וזה לא ישנה את ה-Sp

Sp{x^2-x,x+1,x,x+3}=Sp{x^2-x+x,x+1-x,x,x+3-x}=
Sp{x^2,1,x,3}=Sp{x^2,1,x,3/3}=Sp{x^2,1,x,}=Sp{x^2,x,1}=R3[x]

עכשיו נבדוק את תנאי 2:
There is p(x)∈R3[x]
נבדוק מתי
p(x)U∩W

p(x)∈U ⇔ ∃ a,b | p(x)=a(x^2-x)+b(x+1)

p(x)∈W ⇔ ∃ c,d | p(x)=c(x)+d(x+3)

נשווה בין ההצגות:
a(x^2-x)+b(x+1)=c(x)+d(x+3)
ax^2-ax+bx+b=cx+dx+3d

ax^2-x(b-a)+b=x(c+d)+3d
נשווה את המקדמים
a=0
b-a=c+d
3d=b

נגיע לפתרון כללי:
(a,b,c,d)=(0,3t,2t,t), t

נציב את הפתרון
p(x)=a(x^2-x)+b(x+1)
p(x)=3t(x+1)
therefore
U∩W={3t(x+1)|t}=Sp{x+1}≠{0}
לכן הסכום אינו ישר ולכן

R3[X]UW



הגדרה: יהי V מרחב וקטורים מעל F, וגם K⊆V, נאמר ש-K בתל אם:
1. אם K סופית
K={v1,...,vk}
K בת"ל אם מהשוויון
c1v1+...+ckvk=0
נובע:
c1=...=ck=0

2. אם K אינסופית, אז K בת"ל אם כל תת קבוצה סופית שלה היא בת"ל.

תמיד שמסתכלים על צירוף לינארי אנו מסתכלים על מספר סופי של מחוברים, מה שמתאים לנו ל-2.

כדי לבדוק האם קבוצה מסוימת היא בת"ל, לוקחים את הצירוף הלינארי שלה ומשווים לאפס. במידה והסקלרים חייבים להיות אפסים הריי שהקבוצה בת"ל, אחרת ת"ל.

כל תתי הקבוצות של קבוצה בת"ל היא בת"ל.

למשל: תת הקבוצה של מרחב הפולינומים היא קבוצה אינסופית ובת"ל.

עובדה: השורות השונות מאפס במטריצה מדורגת הן בת"ל, זאת אומרת אם נביט במטריצה מדורגת נוכל לראות ישר שהשורות השונות מאפס הן פשוט בת"ל).

דוגמאות:
האם הקבוצה הבאה היא בת"ל:
{x^3-x+1,2x^2-1,x^2+x}
There is a,b,c∈ scalras 
a(x^3-x+1)+b(2x^2-1)+c(x^2+x)=0
הדרך להשוות פולינומים היא להשוות את החזקות שלהם, ונבדוק האם
a=b=c=0

נכתוב את זה מחדש לפי החזקות:

a(x^3-x+1)+b(2x^-1)+c(x^2+x)=
ax^3-xa+a+2bx^2-b+cx^2+cx=0

x^3(a)+x^2(2b+c)+x(c-a)+(a-b)=0
על מנת להשוות פולינום ששווה לפולינום האפס, אנו נשווה את כל המקדמים לאפס
נפתור את מערכת המשוואות הבאה:
a=0
2b+c=0
c-a=0
a-b=0

⇒a=b=c=0
לכן הקבוצה בת"ל.

תזכורת: קבוצת השורות של מטריצה מדורגת היא בת"ל, משום שאם רוצים לאפס אותה צריך להכפיל ב-0 בלבד.

יהיו 
v1(1-i,3+i)
v2(1,1+2i)
v1,v2ℂ^2
האם הקבוצה {v1,v2} היא בת"ל?


1. כאשר ℂ^2 מרחב מעל ℂ.
2. כאשר ℂ^2 מרחב מעל ℝ.

[אם זה בת"ל מעל ℂ אזי שזה בת"ל מעל ℝ אוטומטית].

1. נבדוק האם הקבוצה בת"ל מעל 

[עד כה למדנו הרבה שיטות לעשות את זה, אפשר לבדוק האם הם לא פרופורציוניים, האם המטריצה הפיכה]




הדרך הקלה להגיד שהקבוצה היא בלתי תלויה לינארית היא להגיד שהם פשוט לא פרופורציונליים.

אם v1=λv2 אז לפי הרכיב הראשון בהכרח λ=1-i
נבדוק האם באמת:
v1=(1-i)v2
(1-i)(1,1+2i)=(1-i,(1-i)(1+2i))
=(1-i,3+i)=v1
חישוב
(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i^2=1+i+2=3+i

לכן {v1,v2} ת"ל כש-ℂ^2 מרחב מעל ℂ.


2. ראינו בסעיף הקודם שאם 
v1=λv2
אז
 λ=1-i
לכן לא קיים cℝ כך ש
v1=cv2

לכן v1,v2 לא פרופורציוניים, ולכן {v1,v2} בת"ל מעל ℝ.

צריך לפתור מערכת משוואות ולבדוק האם מתקיים שהצירוף לינארי שווה אפס.
av1+bv2=0
a,b

(1-i)a+b=0
(3-i)a+(1+2i)b=0

נפתור ונראה ש a=b=0.
או דטרמיננטה שווה אפס:

(1-i)(1+2i)-(3-i)=3+i-(3-i)=0



האם הקבוצה {f,g,h} היא בת"ל כאשר:
f(x)=sinx
g(x)=cosx
h(x)=x^2
נשאלת השאלה: באיזה מרחב אני חיי? מרחב הפונקציות מ-ℝ ל-ℝ.
ווקטור האפס הוא הפונקציה הקבועה 0.
הפעולות:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(c*f)(x)=cf(x)
f,g:ℝ→
 c


ניקח סקלרים a,b,cℝ לכל x ב-
af+bg+ch=0
af(x)+bg(x)+ch(x)=0
asinx+bcosx+cx^2=0
צריך לבדוק ש a=b=c=0 לכל x.

זה אמור להתקיים לכל x, לכן בפרט עבור x=0
asinx+bcosx+cx^2=0
b=0

לכן לכל x:
asinx+cx^2=0
אמור להתקיים לכל x, בפרט ל x=π
π^2c=0
c=0

לכן לכל xℝ, בפרט עבור x=π/2
asin(π/2)=0
a=0

קיבלנו ש- a=b=c=0, לכן {f,g,h} היא בת"ל.



בדקו האם הקבוצה  {f,g,h} היא בת"ל עבור:
f(x)=sin^2x
g(x)=cos^2x
h(x)=5

There is a,b,c
af+bg+ch=0
לכן לכל xℝ:
asin^2x+bcos^2x+5c=0
בפרט עבור x=0,π/2.π/4
נציב ונקבל את מערכת המשוואות הבאה:
b+5c=0
a+5c=0
a/2+b/2+5c=0
להלן הפתרון הכללי של המערכת:
(-5t,-5t,t)
אנו יודעים כי הפתרון הכללי, פותר חלק מהמשוואות, אבל האם הוא פותר את כולן?
נבדוק האם השוויון מתקיים לכל x:
-5t(sin^2x+cos^2x)+t5=-5t+5t=0
כלומר
-5f-5g+h=0
הוא צירוף לינארי לא טריוויאלי של {f,g,h} שמתאפס.
הוא פותר את אינסוף המשוואות, זה פתרון לא טריוויאלי, לכן מדובר בקבוצה ת"ל.


משפט חשוב: אם k בת"ל:
k∪{v} בת"ל ⇔ v∉SpK

הגדרה: V מרחב ווקטורי, מתקיים B⊆V.
B נקרא בסיס של V אם:
1. SpB=V (כלומר B פורשת את V)
2. B בת"ל.

(בלתי תלויה ופורשת).



דוגמאות לבסיסים:
1. בסיסים של F^n
2. 
{1,x,...,x^n-1} base of Fn[x]
3.
{1,x,x^2...} base of F[x]

למרחבים שנוצרים סופית תמיד יש בסיס, תוך מספר סופי של צעדים ניתן להוציא צירופים לינאריים משותפים.

משפט חשוב מאוד: יהי V מרחב ווקטורי, ונניח שב-V יש בסיס עם n איברים (בפרט הוא נוצר סופית).
1. כל קבוצה עם יותר מ-n איברים ב-B היא ת"ל
2. כל קבוצה עם פחות מ-n איברים ב-V אינה פורשת.
3. בכל בסיס של V יש n איברים.
4. קבוצה עם n איברים ב-V היא בת"ל ⇔ אם רק אם היא פורשת.

הגדרה: יהי V מרחב שנוצר סופית (כלומר יש קבוצה סופית שפורשת אותו), כמות האיברים בבסיס כלשהו (ולכן בכולם) של V נקראת המימד של V.
סימון:
dimv

דוגמאות לבסיסים ומימדיהם:
1. dimF^n=n
2. dimFn[x]=n
3. dimMnxn(F)=mn
בקבוצה זו יש mn איברים
4.dim{0}=0
מקרה פרטי, ניתן להחשיב זאת כהגדרה
5.dimC^n
כאשר C^n מרחב מעל ℂ:
dimC^n=n

אשר C^n מרחב מעל :
dimC^n=2n

משפט: נניח ש-V מרחב שנוצר סופית, ו-U⊆V תת מרחב אז:
1. dimU≤dimV
2. dimU=dimV ⇔ U=V




תרגיל
נתונה הקבוצה:
W={p(x)ℝ3[x]|p(1)}
מצאו את המימד של W, מצאו בסיס ל-W.

פתרון:
קודם כל חשוב שנבין מה זאת הקבוצה W.
W היא אוסף כל הפולינומים שהמעלה הכי גבוהה שלהם היא 3, זאת אומרת עד מעלה 2, כאשר x=1 אזי הפולינום מתאפס.

ידוע לנו כי
Wℝ3[x]
לכן על פי המשפט: W הוא תת מרחב ו-U הוא תת מרחב שלו אזי מתקיים:
dimU≤dimW

מתקיים:
dimWdimℝ3[x]=3

מכיוון שמתקיים גם:
p(x)=1∉W 
p(1)=1≠0

p(1)=1∈ℝ3[x]

אז ברור לנו כי
Wℝ3[x]

ועל פי סעיף ב' של אותו משפט, המימדים שלהם שווים אם ורק אם הם שווים בעצמם, מתקבל כי:
dimW<3

המטרה שלנו היא להראות שהמימד הוא בדיוק 2, לכן נימצא קבוצה בת"ל בעלת שני איברים:
q(x)=x-1∈W
r(x)=x^2-1∈W
משום שאם נציב בהם x=1 אכן הפולינום יתאפס.

הקבוצה
{q(x),r(x)}
בת"ל משום שהם לא פרופורציונליים.

לפי המשפט שאומר שכל קבוצה בלתי תלויה לינארית במרחב ניתנת להשלמה לבסיס ניתן להסיק או שהמימד של הבסיס של W הוא 2, או שהוא מעליו, מפני שמצאנו קבוצה בלתי תלויה לינארית של ווקטורים מתוך W.

dimW≥2



dimW≥2 & dimW<3 ⇒dim=2

והריי לנו בסיס ל-W:

{q(x),r(x)}
קבוצה שהיא בת"ל עם מספר איברים שהם המימד של המרחב W.


נוסחת המימדים:
אם V נוצר סופית, ו U,W⊆V תתי מרחבים אזי מתקיים:
dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U∩W)



אנו יודעים כי כאשר הסכום ישר מתקיים כי החיתוך של תתי המרחבים הוא 0.
U⊕W=V⇒ U∩W={0}
dimV=dimU+dimW




תרגיל
יהיו U,Wℝ^3 תתי מרחבים ממימד 2. הוכיחו
U∩W{0}

לפי נוסחת המימדים:
dim(U+W)=dimU+dimW-dim(UW)

dim(U+W)=4-dim(UW)


הסכום של שני המרחבים הוא גם תת מרחב של ℝ^3, ולכן מתקיים
dim(U+W)≤3
4-dim(UW)≤3
1dim(UW)
ובפרט 
dim(UW)0
ולכן
UW≠{0}




תרגיל:
מצאו בסיס למרחב
(בהינתן מרחב צריך למצוא לו בסיס)
U=sp{(v1,v2,v3,v4)}


v1=
1
-2
3
4

v2=
1
3
-3
-5


v3=
2
1
0
-1


v4
0
0
-2
0


יש לנו שתי גישות כדי למצוא בסיס למרחב:
שיטת העמודות:
נפתור את מערכת המשוואות הבאה:
x*v1+y*v2+z*v3+t*v4=0
אם מקבלים פתרון יחיד, אזי סיימנו.

נניח שיש משתנה חופשי, z, אפשר להציב z=-1 ולמצוא את x,y,t
 xv1+yv2-v3+tv3=0
v3=xv1+yv2+tv3
אפשר להוציא אותו מה-Sp, שאינו משתנה לאחר דירוג (פעולות אלמנטריות על בתוך ה-Sp לא משנות). העמודות המקוריות (=לאחר דירוג) המתאימות למשתנים קשורים, הם בסיס של  U.

v3 הוא צירוף לינארי של v1 ו-v2,כך שהמטריצה הזאת אי אפשר לדעת מהם v1,v2 אבל {v1,v2} בסיס.

שיטת שורות:
מסתמכים על המשפט שאומר כי מרחב השורות לש משתנה כתוצאה מדירוג (נקבל קבוצה שונה מ-U).
השורות השונות מאפס במטריצה משדורגת הן בסיס למרחב השורות שלא השתנה.
בשיטה זו אי אפשר לדעת איזו תלות לינארית היית בהתחלה., כי אנחנו מקבלים קבוצה שונה לגמרי.

אנחנו נקבל את אותו מרחב שורות.

נדרג את מטריצת השורות, ושורות השונות מאפס הן בסיס.


נפתור את את השאלה המקורית בשיטת השורות:
A=
1
-2
3
4
1
3
-3
-5
2
1
0
-1
0
0
-2
0


 R2→R2-R1
R3→R3-2R1

1
-2
3
4
0
5
-6
-9
0
5
-6
-9
0
0
-2
0

R3→R3-R2



1
-2
3
4
0
5
-6
-9
0
0
0
0
0
0
-2
0


R3↔R4

A'=

1
-2
3
4
0
5
-6
-9
0
0
-2
0
0
0
 0
0



מתקיים:
W_A_ROW=U
מרחב השורות לא משתנה כתוצאה מדירוג.

לפי המשפט שאומר שפעולות אלמנטריות על מה שנימצא בתוך SP לא משנה את ה-SP, ל-A ול-A' יש אותו מרחב שורות.
זאת אומרת שאם נימצא בסיס ל-A' אזי נימצא גם בסיס ל-A.
וכבר הבנו את זה ששורות השונות מאפס ב-A' הן בסיס ל W_A'ֹ_ROW ולכן
B{(1,-2,3,4),(0,5,-6-,9),(0,0,1,0)}
בסיס ל:
U=W_A_ROW=W_A'_R


כעת נעלה בדרישות, אנו רוצים בסיס ל-R^4:
אנו נצטרך להשלים את B לבסיס של R^4:

B'=

1
-2
3
4
0
5
-6
-9
0
0
1
0
0
0
 0
1

זאת מטריצה הפיכה משום שהיא מדורגת ואף שורה אינה שורת האפס, או שאפשר להגיד שהעמודות של A הן בת"ל, או שאפשר להגיד שהדטרמיננטה שונה מאפס לכן יש משפט שאומר שדרמיננטה הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שונה מאפס.
לכן שורותיה הן בסיס של R^4/
ולכן
B∪{e4}
זה בסיס של R^4 המכיל את B.



שאלה נוספת
נגדיר:
U=Sp{u1,u2,u3}
W=Sp{w1,w2,w3}
u1=

1
3
-2
2
3

u2=

1
4
-3
4
2


u3=

2
3
-1
-2
9


w1=

1
3
0
2
1


w2=

1
5
-6
6
3


w3=

2
5
3
2
1


מצאו בסיסים ל: U,W,U+W.

עבור U נגדיר:
W_A_R=U
לפי המשפט: פעולות אלמנטריות בתוך SP לא משנות את ה-SP, כלומר לא משנות את מרחב השורות.
A=
1
3
-2
2
3
1
4
-3
4
2
2
3
-1
-2
9



לאחר דירוג נקבל:
A'=

1
4
-3
4
2
0
1
-1
2
-1
0
0
0
0
0
זה פורשת ובת"ל לכן זה בסיס.
לכן
B1={(1,4,-3,4,2),(0,1,-1,2,-1)}
בסיס של U, ורואים כי
dimU=2


עבור W:
בדך דומה מקבלים:
B2={(1,3,0,2,1),(0,1,-3,2,1)}

(הערה: איחוד קבוצות פורשות נותן קבוצה פורשת, לאו דווקא בסיס)
ישנו משפט שאומר:
U+W=SpB1+SpB2=Sp(B1∪B2)

נחשב בדרך דומה:

C= 
B1
B2

קיבלנו ש:
{(1,4,-3,4,2),(0,1,-1,2,-1),(0,-0,1,0,-1)}
בסיס ל-U+W.


2. מצאו מרחב
T⊆R^5
כך ש:
U⊕T=R^5

דרך כללית לענות על שאלה מסוג זה:
מתחילים מ-U ומרחיבים ל-R^5.

בסעיף קודם הגענו לכך ש:
B1={(1,4,-3,4,2),(0,1,-1,2,-1)}
בסיס של U, ורואים כי
dimU=2

נגדיר:
T=sp{e3,4,e5}
נראה ש-T מקיים את הנדרש.
מתקיים:
dimT=3

מתקיים ללא שום הנחות:
dimU+dimT=dimR^5

זאת אומרת תנאי ראשון שצריך להתקיים מתקיים, צריך להוכיח ש: 
U+T=R^5

יש משפט שאומר שאם:
U=Sp(S)
W=Sp(T)
שני תתי מרחבים של מרחב לינארי V, כאשר S, ו-T קבוצות לא ריקות של V, מתקיים:
U+W=Sp(S)+Sp(T)=Sp(S∪T)
U+T=Sp(B1∪{e3,e4,e4})
שורות של מטריצה הפיכה, לכן שורותיה פורשות את R^5.
ולכן:
U+T=R^5

משפט שאומר: אם U ו-W הם שני תת-מרחבים של מרחב שנוצר סופית, ואם V=U+W, אז
V=U⊕W
אם ורק אם
dimV=dimU+dimW

לכן
U⊕T=R^5



הגדרה:
V מרחב ווקטורי.
B=(v1,...,vn)
בסיס סדור של v (בסיס שהסדר כן משנה בו, בניגוד לקבוצה), לכל v∈V קיימים סקלרים יחידים:
α1,...,αn∈F
כך ש:
V=α1v1+...+αn*vn
הקואורדינטות של v ביחס לבסיס B הן:
[V]B=
α1
.
.
.
αn
∈F


דוגמאות:
B1=(e1,e2)  v∈R^2
v=(1,2)∈R^2
v=1*e1+2*e2
[v]b1=
1
2

B2=(e2,e1)
v=2*e2+1e1
[v]B2=

2
1




B3=((1,1),(1,-1))
v=x(1,1)+y(1,-1)
x+y=1
x-y=2
x=3/2
y=-0.4

v=3/2(1,1)-0.5(1,-1)
[V]B3=
3/2
-0.5




[u]B3=
3
-5

u=?
u=3(1,1)-5(1,-1)=(-2,8)



B=(1,x,x^2)
בסיס של
ℝ^3[x]
[x^2-3x+4]B=
4
-3
1


זה בעצם מגדיר פונקציה מ-V ל-F^n על ידי:
v→[v]B
1. זו פונקציה חד חד ערכית משום שלא יכול להיות ש-2 ווקטורים שונים יהיו עם אותם הקואורדינטות.
2. זו פונקציה על F^n. זאת אומרת כל n-יה יכולה להיות קואורדינטות ל מישהו.

שומרת על חיבור וכפל בסקלר:
3.
[Cv]B=C[v]B

4.
[v+u]B=[v]B+[u]B


תרגיל:
יהי
U={p(x)∈ℝ^3|p(1)=0}
ויהי
p(x)=x^2-3x+2∈U

מצאו שני בסיסים שונים B,C של U כך ש:
[P(x)]B=[p(x)]C
בתשובה צריך להגדיר את C,B ולהסביר למה הם בסיסים ולהראות שמתקיים:
[P(x)]B=[p(x)]C

ניתן לקבל בסיס שרירותי, ואז נימצא עוד אחד אבל נתקשה למצוא שוויון.

ax^2+bx+c=q(x)
q(1)=0
c=-a-b
B={a(x^2-1)+b(x-1)|a,b∈ℝ}
B=(x-1,x^2-1)
c=(a(x^2-1),b(x-1))=c(x^2-1)+d(x-1)
אסור שאגף ימין יהיה פרופורציונלי.. אנחנו מגיעים לסיבוך בחישובים לא רצויים

לכן נבחר לפתור את התרגיל בדרך שנייה:
גמישות מחשבתיות: מותר לי לבחור מה הקואורדינות יהיו (אסור שהם יהיו 0).
נחפש:
[P(x)]B=[p(x)]C=
1
0

כעת הוספנו דרישה שהופכת את השאלה לפשוטה יותר.

B=(q(x),r(x))
[p(x)]B=
1
0

p(x)=1*q(x)+0*r(x)=q(x)


(כל עוד דואגים שהווקטור איבר בבסיס p(x) *1, אז האיבר השני לא משנה, צריך רק לדאוג שהוא בלתי תלוי)

נגדיר:
B(x^3-3x+2,x-1)
C=(x^2-3x+2,2(x-1))
U⊆ℝ3[x]
אם
לכן על פי המשפט: W הוא תת מרחב ו-U הוא תת מרחב שלו אזי מתקיים:
dimU≤dimW


מתקיים:
dimℝ3[x]=3.
dimU≤3
מכיוון שמתקיים

p(x)=1∉W 
p(1)=1≠0

p(1)=1∈ℝ3[x]

אז ברור לנו כי


Wℝ3[x]

ומכאן
dimU≤2

B,C קבוצות בלתי תלויות עם שני איברים ב-U, ולכן
dimU≥2
ובסה"כ dim=2.

B,C קבוצה בתל עם שני איברים במרחב מימד 2, ולכן בסיסים של U.
הצגה לפי B:
p(x)=1(x^2-3x+2)+0(x-1)


הצגה לפי C:
p(x)=1(x^2-3x+2)+0(2(x-1))

ולכן קיבלנו

[P(x)]B=[p(x)]C=
1
0

משפט: קואורדינטות שומרות על צירופים לינאריים:
v=α1u1+...+αk*uk
α1[u1]B+...+αk[uk]B

משפט: המעבר לקואורדיטנות שומר על אי תלות:
{u1,...,uk} בת"ל
{[u1]B,...,[uk]B} בת"ל


מסקנה נדרשת משני המשפטים, הנובעות מהם ישירות:
{v1,...,vk}
בסיס של
sp{u1,...,un}
{[v1]B,...,[vk]B}
בסיס של
Sp{[u1]B,...,[un]B}

ומה השימוש שלנו במסקנה הזאת?
כך נוכל להשתמש במרחב השורות לכל מי שהם לא F^n.

תרגיל שימחיש לנו את השימוש שלנו בקואורדינטות:
מצאו בסיס ל-:
W=Sp{p1(x)=2x^3+x^2-7x-7,p2(x)=x^3+2x^2-2x+1,p3(x)=x^3+3x^2-x+4}

(עכשיו נוכל לעבור ל-nיה מטריצות, במקום לעבוד עם פעולות אלמנטריות על קבוצה)

נבחר את הבסיס:
E=(x^3,x^2,x,1)
של
ℝ4[x]

v1=[p1(x)]E=

 2
 1
 -7
 7

v2=[p1(x)]E=

 1
 2
 -1
 1

v3=[p1(x)]E=
 1
 3
 -1
 4

(n-יות יכולות להיות מרחב שורות במטריצה, ואילו פולינומים לא יכולים להיות מרחב שורות).
נימצא בסיס ל:
U=sp{v1,v2,v3}
פעולות אלמנטריות על Sp לא משנות את ה-SP.
U זה מרחב השורות של המטריצה A:
A=
2
1
-7
-7
1
2
-2
1
1
3
-1
4

אחרי שנדרג את המטריצה A נקבל
A'=
1
2
-2
1
0
1
1
3
0
0
0
0
שורות שונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בת"ל
מהגדרה מרחב השורות של A' פורשת את W, ולכן 
{(1,2,-2,1),(0,1,1,3)}
בסיס של U.

המסקנה הנובעת ממשפטים: קואורדיטנות שומרות על צ"ל, וקואורדיטנות שומרות על אי תלות לנאריות נובע
{x^3+2x^-2x+1,x^2+x+3}
בסיס של W.



מטריצת המעבר
V מרחב, B ו-C בסיס של V.
מה הקשר ביניהם:
[v]B
[v]C
עבור  v∈V?
(צריך להכפיל במטריצה כלשהי על מנת להגיע מקואורדינטה אחת לשנייה).


הגדרה: מטריצת המעבר מהבסיס B לבסיס C:
C=(u1,...,un)
היא המטריצה:
|

|
[u1]B
…………
[un]B
|

|


אם M היא מטריצת המעבר מ-B ל-C אזי:
[v]B=M[v]c
M תמיד מטריצה הפיכה.

ומטריצת המעבר מ-C ל-B היא M^-1.


דרגה של מטריצה
כאשר:
A∈Mmxn(F)
יש לנו שני מרחבים:
W_A_ROW = מרחב השורות
W_A_colum = מרחב העמודות
ישנו משפט שאומר שמטריצה מימד מרחב השורות שווה למימד מרחב העמודות:
dimW_A_ROW=dimW_A_colum
לגודל המשותף הזה קוראים הדרגה של A, סימון:
ρ(A)

תכונות דרגת המטריצה:
1. הדרגה של מטריצה A שווה לדרגת המטריצה המשוחלפת (מטריצה שבה החליפו את השורות והעמודות)
 ρ(A)=ρ(A^t)
2.
ρ(A)≤min{m,n}
3.
ρ(AB)≤min{ρ(A),ρ(B)}
4. אם B הפיכה אזי:
ρ(AB)=ρ(B)
5. נניח ש
A∈Mn(F)

A הפיכה
ρ(A)=n

משפט: הקשר בין מרחב השורות של מטריצה למרחב הפתרונות שלה.
תהי
A∈Mmxn(F)
נסמן:
P(A)={x∈F^n|Ax=0}
(כפי שניתן לראות P של x הוא מרחב הפתרונות של מערכת הומוגנית).

מתקיים המשפט הזה:
dimP(A)=n-ρ(A)
n - מספר העמודות
dimP(A) - כמות משתנים חופשיים
ρ(A) - כמות משתנים קשורים

דרך לחשוב על מימד: כמות הפרמטרים הנדרשת על מנת לתאר פתרון. כל משתנה חופשי הוא פרמטר שמופיע בפתרון.

תרגיל
תהיינה A,B מטריצות ריבועיות מסדר 5, מדרגה 3.
הוכיחו כי:
AB≠0
נשים לב כי העמודות של B הן פתרון של A.

פתרון:
נניח בשלילה כי מתקיים:
AB=0
לפי המשפט:
לכל מטריצה A,B מסדר mxn ו nxp בהתאמה מתקיים:
[AB]_column_j=A*[B]+column

נסיק כי לכל i=1,2,3,4,5 מתקיים:
[AB]_column_i=A[B]_column_i=
לכן כל עמודה של B היא פתרון של המערכת Ax=0, ולכן
קבוצת עמודות B מוכלת במרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית של A כלומר:
קבוצת העמודות B מוכלת ב-P של A.
{[B]_column1_1,...,[B]_column_5}⊆P(A)
מכיוון ש-P של A הוא מרחב ווקטורי:
(אם יש קבוצה שמוכלת במרחב אזי גם הם Sp שלה מוכל במרחב)

Sp{[B]_column1_1,...,[B]_column_5}⊆P(A)
W_column_B=Sp{[B]_column1_1,...,[B]_column_5}⊆P(A)

כלומר
W_column_B⊆P(A)
לפי המשפט שאומר שאם V הוא מרחב לינארי שנוצר סופית, ו-U הוא תת מרחב של V אזי:
1. U הוא מרחב נוצר סופית ומתקיים
dimU≤dimV


לכן מתקיים:
dimW_column_BdimP(A)

ישנו משפט שאומר שמטריצה מימד מרחב השורות שווה למימד מרחב העמודות:
dimW_A_ROW=dimW_A_colum
לגודל המשותף הזה קוראים הדרגה של A, סימון:
ρ(A)



לכן

ρ(B)dimP(A)

על פי המשפט:

dimP(A)=n-ρ(A)
n - מספר העמודות
dimP(A) - כמות משתנים חופשיים
ρ(A) - כמות משתנים קשורים


n=5
ρ(B)dimP(A)

ρ(B)5-ρ(A)

על פי הנתון:
ρ(B)=ρ(A)=3

3≤5-3
3≤2
הגענו לסתירה לכן ההנחה שלנו אינה נכונה.
AB≠0





העתקות לינאריות - פונקציות ששימוש בהן שומר על צירופים לינאריים.

הגדרה: יהיו V,W מרחבים ווקטוריים מעל אותו שדה F.

T:V→W
פונקציה T נקראת העתקה לינארית (ט"ל=טרנספורמציה לינארית) אם:
1. לכל u,v∈V מתקיים:
T(u+v)=T(u)+T(v)
2. לכל v∈V, c∈F:
T(C*v)=C*T(v)

פונקציה אשר מקיימת תנאים אלו נקראת העתקה לינארית.


דוגמאות:
1. העתקת האפס.
O:V→W
המוגדרת על ידי:
לכל v∈W
O(v)=0w
ווקטור האפס ב-W

2. העתקת הזהות:
Iv:V→V
מוגדרת על ידי:
לכל v∈V:
Iv:(v)=v

3. העתקת קואורדיטנות:
אם B בסיס סדור של V:
V→[V]B
אזי פונקציה זו היא ט"ל מ-V ל-F^n.

4. מהן ההעתקות הלינאריות מ-ℝ ל-ℝ?
T:ℝ→ℝ
נסמן
x
a=T(1)
T(x)=T(x*1)=x*T(1)=ax

T(x) - x ווקטור
T(x*1) - סקלר x

5. כפל במטריצה
A∈Mmxn(F)
אז אפשר להגדיר:
TA:F^n→F^m
מוגדרת על ידי:
TA(x)=Ax, x∈F^n



הגדרה:
T:V→W
V - תחום
W - טווח
T היא העתקה ליארית, ט"ל אזי:
KerT={v∈V|T(v)=0}⊆V
KerT - הגרעין של T

ImT={T(v)|v∈w}⊆W
ImT - התמנה של T

KerT ו ImT הם תתי מרחבים.

בכל אחד מהטווח ומהתמונה חייב להיות אפס, לכן קוראים להם מרחבים ווקטוריים.

תמונה: אוסף כל הווקטורים שהולכים ל-W.

משפט ראשון:
אם

A∈Mmxn(F)
אז אפשר להגדיר:
TA:F^n→F^m
מוגדרת על ידי:

TA(x)=Ax, x∈F^n

אז
KerTA=P(A)

ImTA=W_A_column


משפט שני: T:V→W ט"ל.
אם
{v1,...,vn}
קבוצה פורשת של V אז
{T(v1),...,T(vk)}
קבוצה פורשת של ImT.
או במילים אחרות
ImT=Sp({T(v1),...,T(vn)})

משפט שלישי:
T חח"ע  ⇔ KerT={0}
הגדרה של פונקציה על:
ImT=W


משפט רביעי:
T:V→W  ט"ל, V נוצר סופית אז:
dimKerT+dimImT=n
כאשר n זה המימד של V.

או
dimKerT+dimImT=dimV


dimV=dimKerT+dimImT


זה המקרה הכללי של המשפט:
dimP(A)=n-ρ(A)

נגדיר:
A∈Mmxn(F), TA:F^n→F^m
KerTA=P(A)   dimkerTA=dimP(A)
הגרעין הוא אוסף הפתרונות של המשוואה ההומוגנית
ImTA=W_A_colum
התמונה היא מרחב העמודות של המטריצה

dimImTA=ρ(A)
dimF^n=n

dimV=dimKerT+dimImT
n=dimP(A) +ρ(A)


תרגיל
נגדיר
T:ℝ3[X]→M2(ℝ)
על ידי:
T(a+bx+cx^2)=

a+b
0
b+c
c-a
1. האם זאת העתקה לינארית? (ט"ל)

יהיו
p1(x)=a1+b1x+c1x^2
p2(x)=a2+b2x+c2x^2
p1(x),p2(x)ℝ3[X]
נבדוק האם מתקיים:
T(p1(x)+p2(x))=T(p1(x))+T(p2(x))

T(p1(x)+p2(x))=T((a1+a2)+(b1+b2)x+(c1+c2)x^2)=
(a1+b1)+(a2+b2)
0
(b1+c1)+(b2+c2)
(c1-a1)+(c2-a1)

=
(a1+b1)
0
(b1+c1)
(c1-a1)
+

(a2+b2)
0
(b2+c2)
((c2-a1)
=T(p1(x))+T(p2(x))


יהי
p(x)=a+bx+cx^2ℝ3[X]
t
נבדוק האם
T(tp(x))=t(T(p(x))

T(t(p(x))=T(ta+tbx+tcx^2)=
ta+tb
0
tb+tc
tc-ta
=
t*
a+b
0
b+c
c-a

=tT(p(x))



יהי
p(x)=a+bx+cx^2
לפי הגדרת הגרעין:
T(p(x))=0⇔p(x)=KerT

T(p(x))=
a+b
0
b+c
c-a


a+b=0 ⇒a=-b
b+c=0 c=-b
c-a=0 ⇒ a=c
נסמן
a=c=t
⇒ b=-t

(a,b,c)=(t,-t,t), t
הגרעין צריך להיות פולינום.
הוא בגרעין אם ורק אם המקדמים שלו בצורה של הפתרון הכללי.

KerT={t-tx+tx^2}=Sp{1-x+x^2}
מדובר בקבוצה בת"ל, משום שזאת קבוצה עם איבר אחד שהוא לא אפס.

על פי ההגדרה של Sp, ברור לנו כי הקבוצה פורשת את KerT, וגם בת"ל לכן
Sp{1-x+x^2}
בסיס ל KerT.


ידוע כי הקבוצה
{1,x,x^2}
פורשת את R3[X]*1, ולכן על פי המשפט:
אם T:V→W ט"ל, והקבוצה 
{v1,...,vk}
פורשת את V
אזי
{T(v1),...,T(vk)}
פורש את ImT

נובע:
ImT=Sp{T(1),T(x),T(x^2)}

Sp{
1
0
0
-1
,
1
0
1
0
,
0
0
1
1
}
שימו לב כי זה אינו בסיס, משום שאחד מהם הוא צירוף לינארי של האחרים.

נסמן את המטריצות ב-
M1,M2,M3
בהתאמה

1
0
0
-1
+
0
0
1
1
=
1
0
1
0


M1+M3=M2
לכן על פי המשפט שאומר מתי 
Sp(T)=Sp(K)

ניתן לומר ישירות כי 
Sp{M1,M3}=Sp{M1,M2,M3}

M1,M3 בת"ל כי הם לא פרופורציוניים.
לכן הקבוצה M1,M3 בסיס של ImT.

2. האם T חח"ע, T על?
T לא חח"ע (חד חד ערכית) כי מצאנו
KertT≠{0}

T לא על משום ש:


0
1
0
0

לא יהיה אף פעם בתמונה.
(התמונה היא תת מרחב של הטווח).
(כל העתקה עם תחום וטווח כאלה לא יכולה להיות על).

אין ט"ל על מ-R3[X]*1 ל M2[R]*1.
נניח אחרת, לפי נוסחת המימדים:
אזי
ImT=M2(R)

T:V→W  ט"ל, V נוצר סופית אז:



dimKerT+dimImT=dimV
במקרה שלנו:



dimP(A)=n-ρ(A)
n - מספר העמודות
dimP(A) - כמות משתנים חופשיים
ρ(A) - כמות משתנים קשורים

n=2
ρ(A)=2
dimP(A)=2+2=4=dimImT


dimKerT+dimImT=dimV
dimKerT+4=3
dimKerT=-1
בלתי אפשרי, לכן סתירה.


משפט:
יהיו V,W מרחבים ווקטוריים, {v1,...,vn} בסיס של V,
{w1,...,wn}⊆W
קבוצה כלשהי.

אז קיימת ט"ל (העתקה לינארית): T:V→W יחידה כך ש:
T(v1)=w1
T(vn)=Wn

איך T נקבעת? בהינתן v∈V אפשר לכתוב:
v=α1v1+...+αnvn
T(v)=T(α1v1+...+αnvn)=α1T(v1)+...+αnT(vn)=α1w1+...+αnwn


תרגיל:
מצאו
T:ℝ4[x]→M2x3(ℝ)
ט"ל המקיימת:
1.
KerT נפרש על ידי
p(x)=x^3-2x+1
q(x)=x^3+x^2-x+3
2. התמונה מכילה את
Sp{J}

J=
-1
2
1
3
-1
0

(מספיק להגדיר את T על בסיס כלשהו ℝ4[x]*1)
  בת"ל כי הם לא פרופורציוניים{p(x),q(x)}
נשלים קבוצה זו לבסיס של ℝ4[x]*1
E=(x^3,x^2,x,1)

[p(x)]E=
1
0
-2
1

[q(x)]E=

1
1
-1
3
נדרג את המטריצה הזו, ונראה כי מדובר בבסיס.


1
0
-2
1
1
1
-1
3
0
0
1
0
0
0
0
1

מעבר לקואורדינטות שומר על בת"ל ועל צ"ל - מכאן נובע שאם נבצע פעולות אלמנטריות על המטריצה הריי שזה ה-Sp לא ישתנה. מרחב השורות לא משתנה כתוצאה מדירוג.

בסופו של דבר אחרי דירוג נגיע ל:
1
0
-2
1
0
1
-1
2
0
0
1
0
0
0
0
1


השורות השונות מאפס הן בסיס ל-R4[x]*1
B={p(x).q(x),x,1}
מהוות בסיס ל
R4[x]
נגדיר T:R4[X]→M2x3(R) *1 על ידי תמונותיה על הבסיס B.
על פי המשפט ש-V ו-W הם מרחבים וקטוריים, וקבוצה v1,...,vn היא בסיס של v, וw1,...,wn קבוצה כלשהי ב W, אזי קיימת T ט"ל יחידה:

T(p(x))=T(q(x)=0
T(x)=J
T(1)=E^1,1

(איך מגדירים T? מראים מה T עושה על הבסיס, ומהרגע שהשתמשנו במשפט הזה יש לנו העתקה T)
T מקיימת את הדרישות הנ"ל לכן קיימת.

נראה ש-T מקיימת את הנדרש בשאלה:


יש משפט שאומרם שאם T:V→W ט"ל וקבוצה 
{v1,...,vk} פורשת את V אזי
ImT פורשת את {T(v1),...,T(vl)} 
לכן
Sp{T(p(x)),T(q(x)),T(x),T(1)}=SpImT
Sp{T(p(x)),T(q(x)),J,T(1)}=SpImT⊇Sp(J)


תנאי 2 מתקיים.




לכן במקרה שלנו
ברור ש q(x),p(x) *1 הם איברים בגרעין, כי הם נשלחים לאפס, אבל לא ברור שהם פורשים את הגרעין, זה לא אומר ישירות שאין עוד איברים בגרעין שהם לא צירופים לינאריים של p(x) q(x) *1
צריך להסביר למה p(x),q(x) *1 פורשים את הגרעין
הדרך להראות שהם פורשים את הגרעין היא דרך נוסחת מימדים.

יהיה לי קל לחשב את המימד של התמונה.
Sp{T(p(x)),T(q(x)),T(x),T(1)}=SpImT
Sp{T(p(x)),T(q(x)),T(x),T(1)}=Sp{0,0,J,(E^1,1)}=Sp{0,J,(E^1,1)}
=Sp{J,E^1,1}
J,E1,1 בת"ל לכן
dimImT=2

על פי נוסחת המימדים:
dimKerT+dimIm=dimR4[x]
dimKerT+2=4
dimKerT=2


מהגדרת T נובע:
{p(x),q(x)}⊆KerT

הם בת"ל.

יש משפט שאומר שאם V הוא תת מרחב לינארי בעל מימד n. אז כל קבוצה מתוך V בלתי תלויה לינארית, המכילה בידיוק n ווקטורים, היא בסיס של V ובפרט פורשת את אותו.
לכן
{q(x),p(x)}
פורשים את KerT וגם 1 מתקיים.



שאלה נוספת:
האם קיימת העתקה לינארית כך:
T:R^3→R^3
השונה מהעתקת האפס, כך ש:
T(1,0,1)=T(1,2,1)=T(0,1,1)=T(2,3,3)
v1=(1,0,1)
v2=(1,2,1)
v3=(0,1,1)
v4=(2,3,3)
בגלל קיום 4 ווקטורים בR^3 בטוח יש תלות כלשהי (אחת לפחות).

נבדוק תלות לינארית בין 
{v1,...v4}
שמים לב שמתקיים:
v4=v1+v2+v3

נניח בשלילה כי יש T כזאת השונה מאפס, נסמן:
u=T(v4)=T(v1)=T(v2)=T(v3)


נקבל שאותו קשר v4=v1+v2+v3 צריך להישמר גם בתמונה, זאת אומרת אם נפעיל את T עליהם נקבל.

מאחר ו-T העתקה לינארית, ו v4=v1+v2+v3 אז:

u=T(v1+v2+v3)=T(v1)+T(v2)+T(v3)=3u
⇒u=0

כרגע אנחנו יודעים ש-T מתאפסת על 4 ווקטורים, בינתיים זה לא מספיק.
אם הייתי יודע שהווקטורים v1,v2,v3 הם בסיס אז זה היה מספיק.
כי אנחנו יודעים שאם שתי העתקות מסכימות על קבוצה פורשת / בסיס אז הן מסכימות בכל המרחב.

אם v1,v2,v3 לא פורשות את R3 אז כן יש העתקה כזאת, כי אפשר להשלים את הקבוצה לבסיס של R3 ואז נגדיר את T שאותם נשלח ל-0 ואת האחרון נשלח למשהו שונה מאפס.
היא גם לא תהיה העתקת האפס וגם שווה למה שדרשו בשאלה.

במקרה הזה הם פורשים את R3.

בעזרת חישוב פשוט נראה שהקבוצה v1,v2,v3 בסיס של R3....

לכן T והעתקת האפס מזדהות על הבסיס {v1,v2,v3}.
מה הכוונה במזדהות? מקבלים את אותם ערכים על הקבוצה הזאת.
לכל איבר בקבוצה הן נותנות איבר בקבוצה.

אם שתי העתקות לינאריות מזדהות על בסיס הן מזדהות על כל המרחב.

על פי משפט שאומר:
יהיו V,W מרחבים לינאריים מעל שדה F, ותהיה קבוצה B הפורשת את V, שתי העתקות לינארית S ו-T מ-V ל-W הן שוות זו לזו אם ורק אם הן מתלכדות על איברי B (הפורשת את V),
או במילים אחרות
S=T אם ורק אם
S(vi)=T(vi)
לכל i שלם עד n.




פעולות על העתקות לינאריות  / ט"ל
1. חיבור העתקות לינאריות:
תהי T,S:V→W ט"ל.
נגדיר:
לכל v∈V
T+S:V→W
(T+S)(v)=T(v)+S(v)
מסתבר ש S+T העתקה לנארית.


2. כפל העתקה לינארית בסקלר

אם C∈F סקלר, נגדיר:
C*T:→V→W
על ידי:
(CT)(v)=CT(v)
וגם זאת העתקה לינארית.


אוסף כל הפונקציות שהן העתקות לינארית מ-V ל-W:
(Hom(V,W))
הוא מרחב ווקטורי.

אוסף כל העתקות הלינאריות בין אותם מרחבים ווקטוריים נותן לי עוד מרחב ווקטורי חדש.


3.הרכבה:
S:U→V, T:V→W
ט"ל (העתקות לינאריות).

נגדיר:
TS:U→W
המוגדרת על ידי
לכל u∈U
TS(u)=T(S(u))
כפל בין העתקות לינאריות הוא העתקה

אם T:V→V
באופן זה מגדירים חזקות
T^2=T*T

Tֶ0=Iv
מטריצה בחזקת אפס היא מטריצת היחידה



A∈Mmxn(F)
TA:F^n→F^m
TA(x)=Ax, x∈F^n


B∈Mnxk(F)
TB:F^k→Fn
TB(x)=Ax, x∈F^k

TATB:F^k→F^m
ט"ל

מתקיים:
TAB=TA*TB
TA מורכב על TB.

דרך אחרת להגדיר כפל מטריצות.

AB מטריצה של הרכבה, ההרכבה היא העתקה לינארית.


(העתקת זהות חייבת שהתחום והטווח יהיו אותו דבר)


T:V→W נקראת הפיכה אם קיימת: S:W→V כך ש:
TS=Iw, ST=Iv ⇔ T חח"ע ועל

אם יש S כזאת נסמן אותה ב: T^-1.

העתקה לינארית חח"ע ועל נקראת איזומורפיזם.

מרחבים נקראים איזומורפיים אם קיים איזומורפיזם מ-U ל-V.
(אם קיים לפחות אחד).

נניח:
T:V→U איזומורפיזם אזיי נובע:
T חח"ע זאת אומרת:
KerT={0}
T על:
ImT=U

מרחבים איזומורפיים הם בעלי אותו מימד.

dimV=dimKerT+dimImT
dim{0}=0 על פי הגדרה
ImT=U⇒ dimImT=dimU
dimV=dimImT  ⇒ dimV=dimU

מסקנה / משפט:
יהיו V ו-W שני מרחבים לינאריים נוצרים סופית בעלי אותו ממד מעל שדה F, תהי T:V→W העתקה לינארית. אזי שלושת התנאים הבאים שקולים זה לזה:
1. T היא איזומורפיזם מ-V על W.
2. KerT={0}  *1
3. ImT=w

זאת אומרת שאם יש שני מרחבים לינאריים בעלי אותו ממד אז אם אנחנו יודעים אחד משלושת התנאים, אז אנחנו יודעים בבטחה כי כולם מתקיימים.


עבור העתקות TA: 
TA איזומורפיזם ⇔ A הפיכה.

העתקת קואורדינטות שומרת על בת"ל, העתקת קואורדינטות היא איזומורפיזם.

תהי T:V→V ט"ל, כאשר V מרחב נוצר סופית.
נניח שמתקיים T^2=2T, הוכיחו:
KerT⊕ImT=V
זאת אומרת ממד הגרעין + ממד התמונה תמיד V.
נוסחת ממדים, נראה שהאיחוד הוא 0.

נוכיח ש:
KerT∩ImT={0}
ההכלה בכיוון ⊆ מתקיימת באופן טריוויאלי, מרחב האפס מוכל בכל דבר.
נוכיח ⊇
יהי v∈KerT∩ImT ונוכיח ש
 v{0}
כלומר v=0

v∈KerT∩ImT ולכן
v∈KerT ⇒  T(v)=0
v∈ImT ⇒ w∈V T(w)=v

משמעות T^2 היא הרכבה.

מהנתון וממסקנות ההכלה בחיתוך:
0=T(v)=T(T(w))=T^2(w)=2T(w)
2T(w)=0  T(w)

מצאנו כי
T(w)=v  ⇒v=0


והוכחנו שוויון בין קבוצות:
KerT∩ImT={0}

זאת אומרת שלפי המשפט 


על מנת להוכיח שמדובר בסכום ישר
צריך להוכיח:
1.חיתוך הוא 0
2. הסוכם שלהם הוא V

על ידי שימוש בשיקולי מימדים אפשר להחליף אחת מהטענות האלה.


נוכיח ש
KerT+ImT=V

ניתן להשתמש כי V נוצר סופית (נתון בשאלה).


על פי נוסחת הממדים להעתקות לינאריות (לט"ל):
dimV=dimKerT+dimImT
נוסחת המימדים לתתי מרחבים(כי אם V נוצר סופית, אזי גם הגרעין והתמונה נוצרים סופית)
dim(Kert+ImT)=dimKerT+dimImT-dim(KerT∩ImT)

dimV=dimKerT+dimImT
dim(KerT∩ImT)=dim({0})=0

dim(Kert+ImT)=dimV


T:V→V, ולכן KerT,ImT⊆V ולכן KerT+ImT⊆V

ולפי משפט ההכלה ושוויון מימדים שאומר:
אם V הוא מרחב שנוצר סופית, ו-W הוא תת מרחב שלו, מתקיים:
dimW≤dimU

dimW=dimU ⇔ W=U

נובע שמתקיים
Kert+ImT=V

וקיבלנו על פי ההגדרה של סוכם ישר כי:
Kert⊕ImT=V


בלשון אחר:
dimV=dimU+dimW
U∩W={0}
V=U⊕W



מטריצה מייצגת
(העתקה לינארית נוחה עם מטריצה)
תהיי T:V→W העתקה לינארית (ט"ל).
B=(v1,...,vn)
 בסיס סדור של V.
C=(w1,...,wn)
בסיס סדור של W.

המטריצה המייצגת של T בבסיסים B ו-C היא המטריצה:
[T]B_C=
|

|
[T(v1)]C
…….
[T(vn)]C
|

|

גודלה של המטריצה הוא:
כאשר מספר השורות של המטריצה היא הממד של W.
כאשר מספר העמודות של המטריצה היא הממד של V.
mxn=dimWxdimV

על מנת להגיע למטריצה המייצגת אנחנו עושים 2 פעולות: מציבים ב-T את איברי הבסיס של V, ואחר כך עושים קואורדינטה לפי בסיס C.

מדוע זה טוב? על פי המשפט 
[T(v)]C=[T]B_C * [v]B
[T]B_C  - המטריצה המייצגת

מה ניתן להבין מהמשוואה / מה התולעת במטריצה מייצגת?
נניח ויש לנו פונקציה T ט"ל, אך היא אינה נתונה במפורש.
נתון: 
1.T ט"ל עם שני בסיסים לתחום ולטווח.
2. מטריצה מייצגת של מהתחום לטווח.

מה צריך למצוא?
צריך למצוא מה שווה T של איקס כלשהו.
T(x)=w
נעשה את זה בשלושה שלבים:
שלב ראשון אנחנו נמיר את x לפי בסיס B.
שלב שני אנחנו נכפיל את התוצאה של שלב קודם במטריצה המייצגת, קיבלנו את הקואורדינטות של התוצאה ב-C לפי C.
שלב שלישי: נמיר מקואורדינטות של C ל-w.

סימון: אם V=W ו B=C אז נסמן פשוט
[T]B - המטריצה המייצגת


תרגיל:
T(x,y)=
2x+3y
x-y
x-3y

T:R^2→R^3
B - בסיס סטנדרטי של R^2
C - בסיס סטנדרי של R^3

(אנחנו צריכים למצוא תמונות של איברי הבסיס B, ואז לעשות להם קואורדינטות לפי בסיס C)

B=(e1,e2)
C=(e1,e2,e3)

T(e1)=T(1,0)=(2,1,1)
[T(e1)]C=
2
1
1

T(e2)=T(0,1)=(3,-1,-3)
[T(e2)]C=
3
-1
-3

[T]B_C =
2
3
1
-1
1
-3


והינה מצאנו את מטריצת המעבר.





תרגיל
תהי T ט"ל המוגדרת על ידי
T:R4[x]→R4[x]
T(p(x))=xp'(x)

1. מצאו מטריצה מייצגת לפי הבסיס E
E=(1,x,x^2,x^3)
אז כמו שאמרנו על מנת למצוא מטריצה מייצגת יש לנקוט בשני צעדים:
צעד ראשון למצוא את התמונה של כל איברי הבסיס, לעבור מתמונות איברי הבסיס לקואורדינטות לפי בסיס E.

T(1)=0
[T(1)]E=
0
0
0
0

T(x)=x
[T(x)]E=
0
1
0
0
T(x^2)=2x^2
[T(x^2)]E=
0
0
2
0
T(x^3)=3x^3
[T(3x^3)]E=

0
0
0
3


[T]E=
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3


על פי המטריצה המייצגת אפשר למצוא גרעין ותמונה.
2. מצאו בסיסים ל-KerT ול-ImT.

גרעין זה תת מרחב של התחום.
p(x)∈KerT  ⇔ T(p(x))=0
( נפעיל עליהם קואורדינטות)
הווקטורים שלהם שווים אם ורק אם הקואורדיטנות שלהם שוות
[T(p(x))]B=[0]B=
0
0
0
0


על פי המשוואה הנתונה על ידי המשפט:
[T(v)]E=[T]E * [v]E
v=p(x)
(קואורדינטות של תמונה תמיד אפשר לפרק על פי הנוסחה למכפלה של מטריצה מייצגת וקואורדינטות של מקור)
[T(p(x))]E=[T]E * [p(x)]E


ואנחנו מחפשים בסיס שנקרא לו B


לכן
[T]E * [p(x)]E=
0
0
0
0

איבר הוא בגרעין אם ורק אם הקואורדינטות שלו הם פתרונות למערכת הומוגנית.

p(x)∈KerT ⇔ [p(x)]E∈P([T]E)

נפתור את המטריצה המייצגת כמטריצה הומוגונית:

[T]E=
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3

ונקבל כי העמודה הראשונה (משמאל) היא איבר חופשי, ואילו שאר האיברים הם אפס.
P([T]E)={(t,0,0,0)|t∈R}=Sp{(1,0,0,0)}=Sp{e1}
התשובה הזו אינה נכונה, מכיוון שאיבר בגרעין צריך להיות פולינום.
רביעייה במספרים הממשיים היא לא פולינום לכן היא לא יכולה להיות בגרעין.

נתרגם את הבסיס חזרה לפולינום.
KerT=Sp{1}
{1} בסיס של KertT כי {(1,0,0,0)} בסיס של P([T]E)   *1.

קואורדינטות זה העתקה לינארית חד חד ערכית ועל, איזומורפיזם.
גילינו שהקואורדינטות של כל האיברים בגרעין זה הפתרון של מערכת המשוואות. אם מצאנו בסיס למרחב זה, אז במעבר לפולינומים הריי שבאיזומורפיזם מדובר עדיין בבסיס. (=תכונות של קואורדינטות).


נימצא בסיס ל-ImT
q(x)∈ImT ⇔ 
קיים p(x)∈R4[x]
כך ש
T(p(x))=q(x)

⇔ (נעבור לקואורדינטות)
 קיים p(x)∈R4[x]
כך ש
[T(p(x))]E=[q(x)]E

על פי המשפט:
[T(p(x))]E=[T]E * [p(x)]E


[T(p(x))]E=[q(x)]E=[T]E * [p(x)]E
[q(x)]E=[T]E * [p(x)]E
זאת אומרת, אם קיימת רביעייה שעומדת בתנאים, אזי היא 
קיים v∈R^4 כך ש
[q(x)]E=[T]E * v

צריך להבין מה זאת קבוצה שמתקבלת מכפל של מטריצה בכל הרביעיות האפשריות. הריי שמדובר במרחב העמודות (העמודות זה בעצם רביעיות שאנחנו מכפילים כל עמודה בסקלר אחר).
⇔ 
[q(x)]EW_[T]E_Column
(כפל מטריצה ב-n-יה נותן לי צ"ל של עמודות המטריצה)

אנחנו שמים לב כי איבר הוא בתמונה אם ורק אם הקואורדינטות שלו הם מרחב השורות של המטריצה המייצגת.

לסיכום:


q(x)∈ImT ⇔ [q(x)]E∈W_T[E]_Column

דיי קל למצוא בסיס למרחב העמודות:
W_T[E]_Column=Sp{0,e2,2e3,3e4}=Sp{e2,e3,e4}
לכן {e2,e3,e4} בסיס של W_T[E]_Column

ולכן הפולינומים המתאימים הם בסיס של התמונה.
הפולינומים המתאימים:
{x,x^2,x^3} בסיס של התמונה.


(כפל מטריצה ב-n-יה נותן לי את העמודות שלה)



יש משפט שאומר:
תהי T:V→W העתקה לינארית, ונניח כי איברי קבוצה U פורשת את V, אזי
ImT=Sp{T(u1),..,T(un)}

אנו יודעים כי 
E=(1,x,x^2,x^3)
בסיס של התחום לכן על פי המשפט שציינו לעיל תקיים:
ImT=Sp{T(1),T(x),T(x^2),T(x^3)}




תזכורת:
בהינתן T:V→W העתקה לינארית (ט"ל).
B=(v1,...,vn)⊆V
C=(w1,...,wn)⊆W
B בסיס של V
C בסיס של W

[T]B_C =
|

|
[T(v1)]C
[T(vn)]E
|

|

מגיעים למטריצת המעבר בשני שלבים: 
1.מחשבים לכל איבר בבסיס את התמונה שלו,
2.לתוצאה עושים קואורדינטה לפי בסיס הטווח.

לכל v∈V מתקיים
[T(V)]C=[T]B_C *[V]B



שאלה:
יהי מרחב:
W={A∈M2(R)|A=A^t}
W זה המרחב של המטריצות הסימטריות ריבועיות מסדר 2.
B=(m1,m2,m3)
בסיס של W, כאשר:

m1=
1
0
0
2


m2=
0
1
1
0

m3=
2
0
0
3


תהי T:W→W ט"ל (העתקה לינארית), המיוצגת בבסיס B על ידי:
[T]B=
1
2
0
-1
0
2
1
3
1



חשבו
T(J)=?

J=
-1
2
2
3



מכיוון שאנחנו לא יודעים מה הפונקציה T עושה, אנחנו נעבור לקואורדינטות לפי בסיס B:
x,y,z∈R
[J]B=x*m1+y*m2+z*m3

x+2z=-1  ⇒ x=-1-2z
y=2
3z+2x=3 ⇒3z+2(-1-2z)=3 ⇒ 3z-2-4z=3 ⇒-z=5⇒z=-5
x=-1-2*(-5)=9

x=9, y=2, z=-5
[J]B=

9
2
-5

נבדוק מה מצבנו על פי הנוסחה:

[T(J)]B=[T]B *[J]B
[J]B כרגע מצאנו את 

נכפיל את [J]B במטריצה המייצגת על מנת למצוא את התמונה בקואורדיטנות


[T]B*[J]B=
1
2
0
-1
0
2
1
3
1


*
9
2
-5

=

13
-19
10


כלומר
[T(J)]B=

13
-19
10
מצאנו את התשובה שאנחנו מחפשים, אבל בצורת קואורדינטות.
אנחנו צריכים להמיר את זה ל-
T[J]



T(J)=13*m1-19*m2+10*m3

T(J)=

33
-19
-19
56





תרגיל נוסף
T:R3[x]→R3[x]
T ט"ל המיוצגת בבסיס:
B=(1,x+1,x^2-x+1)
על ידי מטריצה מייצגת:
[T]B=

1
2
5
-1
0
-1
0
1
2

מצאו בסיסים ל-KerT ו- ImT.

פתרון:

There is p(x)R3[x]
p(x)∈KerT  ⇔ T(p(x))=0

⇔ (כי קואורדינטות הן חח"ע)

[T(p(x))]B=[0]B

[T]B * [p(x)]B=[0]b

בגלל המשפט
לכל v∈V
[T(V)]C=[T]B_C *[V]B


p(x)∈KerT ⇔ [p(x)]B∈P([T]B)
(P - מרחב הפתרונות של מערכת הומוגנית)

או
P(x)∈Kert ⇔ [T]B * [p(x)]B=[0]B

[0]B=

0
0
0

נפתור את מערכת המשוואות ההומוגנית:


1
2
5
-1
0
-1
0
1
2



1
2
5
0
1
2
0
0
0



P([T]B)={(-t,-2t,t) |t∈R}={t(-1,-2,1)|t∈R}=Sp{(-1,-2,1)}

 {(-1,-2,1)}
בסיס של
P([T]B)


B=(1,x+1,x^2-x+1)

העתקות הן איזומורפיזם לכן נוכל לרשום כי
KerT=Sp{(1*-1-2(x+1)+1(x^2-x+1)}=Sp{-1-2x-2+x^2-x+1}=
Sp{-2x-2+x^2-x}=Sp{x^2-3x-2}
הקבוצה פורשת את KerT על פי הגדרה של Span, והיא בת"ל משום שזאת קבוצה עם איבר אחד שאינו אפס. לכן היא בסיס של KerT.

על פי המשפט שאומר אם יש T:V→W ט"ל וקבוצה U פורשת את V (התחום), אזי
ImT=Sp{T(u1),...,T(un)}

לכן מתקיים:
ImT=Sp{T(1),T(x+1),T(x^2-x+1)}

מצד שני העמודות של 
T[B]
הן
[T(1)]B, [T(x+1)]B,[T(x^2-x+1)]

בגלל שמעבר לקואורדינטות שומרות על בת"ל וצירופים לינאריים, מדירוג המטריצה המייצגת הסקנו כי העמודה האחרונה היא צ"ל של העמודה הראשונה והשנייה.

נסיק כי
T(1),T(x+1)
בת"ל
ובנוסף
T(x^2-x+1) 
צ"ל שלהם


{T(1),T(x+1)} קבוצה פורשת ובת"ל של ImT.


איך בנו את המטריצה המייצגת?
לקחו את הפונקציה T והכניסו לה את הערך המסוים, ואז עשו לו קואורדינטות, זאת אומרת אם נלך אחורה אז:
B=(1,x+1,x^2-x+1)
[T(1)]B=

1
-1
0

T(1)=1-x-1=-x

[T(x+1)]B=
2
0
1

T(x+1)=2+x^2-x+1=x^2-x+3

סה"כ:
{-x,x^2=x+3}
בסיס של
ImT


עובדה:

T→[T]B_C
הוא איזומורפיזם בין
HOM(V,W)
ל-
Mmxn(F)

m=dimW
n=dimV

בפרט
dimHOM(V,W)=dimV*dimW


עובדה חשובה
T:V→W
S:U→W
B⊆V
C⊆U
D⊆W
B,C,D בסיסים

מתקיים:
[ST]B_D=[S]C_D * [T]B_C


שאלה:
תהי T:V→V ט"ל.
כאשר
dimV=3
T^3=0
T^2≠0


הוכיחו שקיים בסיס B של V כך ש
[T]B=

0
1
0
0
0
1
0
0
0

איך פותרים תרגיל מהסוג הזה?
בדף טויוטה:

נניח שקיים בסיס כזה:
B=(u,v,w)
אנחנו יודעים שמתקיים:
[T(u)]B=
0
0
0

T(u)=0
u∈KerT

[T(v)]B=
1
0
0

T(v)=u

[T(w)]B=
0
1
0

T(w)=v

T(u)=0,T(v)=u,T(w)=v

u=T(v)=T(T(w)=T^2(w)


זאת אומרת מספיק למצוא w כך שיתקיים:
B=(u,v,w)=(T^2(w),T(w),w)

שיהיה בסיס של V.
T^2(w)∈KerT
 נכון לכל W על פי הנתון

T^2≠0 ולכן קיים w∈V כך ש-T^2(W)≠0
(ובפרט מכאן גם בהכרח:
(T(w)≠0, w≠0

נגדיר 
B=(T^2(w),T(w),w)
נוכיח ש-B בסיס של V.

dimV=3 לכן המשפט שאומר:
יהי V מרחב לינארי, אם ל-V יש בסיס בעל n ווקטורים:
כל קבוצה בלתי תלויה לינארית של ווקטורים מתוך V, המכילה בדיוק n איברים, היא בסיס של V.

אנו יודעים כי הקבוצה מכילה 3 איברים, וזה בדיוק הממד של V.
לכן מספיק להוכיח ש-B בת"ל.

יהיו
x,y,z∈R
x*T^2(w)+y*T(w)+z(w)=0
נפעיל את T^2
(תמיד אפשר להפעיל פונקציה על שני האגפים)
x*T^4(w)+y*T3(w)+zT^2(w)=0
zT^2(w)=0⇒z=0

T^3=0 ⇒T^4=0

x*T^2(w)+y*T(w)=0
נפעיל את T:
x*T^3(w)+y*T^2(w)=0y*T^2(w)=0
y=0

xT^2(w)=0
x=0

לכן B בת"ל, ולכן בסיס של V.


נחשב את המטריצה המייצגת לפי בסיס B,
[T]B
ונראה שהיא מהצורה הדרושה.


כפי שהזכרנו יש שני שלבים על מנת לבנות את המטריצה המייצגת.
לחשב את את התמונות של הבסיס ואז לעשות להם קואורדינטות.

B=(T^2(w),T(w),w)
T(T^2(w))=T^3(w)=0
[T(T(w))]B=[T^(w)]B
[T(w)]B
על פי הבסיס B:

[T]B=


0
1
0
0
0
1
0
0
0







אחרי התרגיל הזה צריך להתחיל את הממן - אסור להגיע למצב הזה





אישור תוכנית לימודים
אחרי שמגיעים לפחות ל 36
אפשר לשאול לגביי זה בטלפון
לשאול על גבי אישור לימודים - ייעוץ בטלפון - על מנת שלא ייווצר מצב שבו
לשאול לגביי הכרה בהסתברות למרות השינוי

הכרה במדעים - על איזה קורס אני יכול לוותר, האם יש קורס שאעשה אותו ואז לא יכירו לי בנקודות של ההכרה"?

עושים את זה לקראת שליש חצי נקודות, שיש יותר נקודות - עושים את זה בשלב מאוחר כי ברור מה אני צריך לקחת כי יש לי חובה לקחת.
באישור תוכנית לימודים מה נשאר לי לקחת כדי לסיים - האוניבסיטה בודקת שזה אכן נכון ואז מאשרים לי שזה נכון. שם בוחרים את קורסי הבחירה בנוסף לחובה שלא עשיתי.
זה אמור להגן עליי אם יש שינוי בקורס כזה או אחר.

לגביי הסתברות לא יגידו לי לחזור על זה שוב.
יש אנשים שמסיימים את התואר בלי תוכנית בכלל.

ב 2022 א' הולכים לשנות את תוכנית, הולכים להעלות נקודות וקורסים וכל מיני דברים כאלה. יתנו לנו לסיים את התארים במתכונת הישנה.

מדעים בהדגשת מדעי המחשב - הנדסאי אלקטרוניקה יכול לקבל 24 נקודות הכרה. יותר קל במתמטיקה.
יכולתי לקבל 24 נקודות.

נתנו לי 6 נקודות במדעים - יש מקום של שש נקודות במדעים אין יותר.

שאני צובר את כל הנקודות אני אגיע ל-102.
אשנב למתמטיקה או קורס במדעם כלשהו אז יהיה על חשבון ההכרה.


סמסטר א' 
מבנה נתונים ומבוא לאלגוריתמים - 
מעבדה בתכנות מערכות - תכנותי
אוטומים לשפות פורמליות

בקיץ:
מערכות ספרתיות

צריך שיהיה פטור מאנגלית עד 48 נקודות

לשפר את האנגלית חשוב מאוד.